浙教版数学八升九暑假每天一测预习篇：二次函数的应用

试卷更新日期：2024-07-07 类型：复习试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如表给出了二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）中x ， y的一些对应值，则可以估计一元二次方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x₁的范围为（）
x
…
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
…
y
…
﹣1.16
﹣0.71
﹣0.24
0.25
0.76
…

A、1.2＜x₁＜1.3 B、1.3＜x₁＜1.4 C、1.4＜x₁＜1.5 D、1.5＜x₁＜1.6

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2. 抛物线y＝x²＋ax＋3的对称轴为直线x＝1.若关于x的方程x²＋ax＋3﹣t＝0（t为实数），在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（）

A、6＜t＜11 B、t≥2 C、2≤t＜11 D、2≤t＜6

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3. 已知m=6，关于x的一元二次方程(x+3)(x－4)－m＝0的解为x₁ ， x₂（x₁＜x₂），则下列结论正确的是（）

A、x₁＜－3＜4＜x₂ B、－3＜x₁＜4＜x₂ C、－3＜x₁＜x₂＜4 D、x₁＜－3＜x₂＜4

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4. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，则其面积 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式 $.$ 若 $p = 5$ ， $c = 2$ ，则此三角形面积的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $5$

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5. 某网店销售一款李宁牌运动服，每件进价 $100$ 元，若按每件 $128$ 元出售，每天可卖出 $100$ 件，根据市场调查结果，若每件降价 $1$ 元，则每天可多卖出 $5$ 件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价的钱数为（）

A、3元 B、4元 C、5元 D、8元

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6. 我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状，如图是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P）以及点A ，点B落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF）与第2根栏杆未涂色部分（PQ）长度相等，则EF的长度是（）

A、 $\frac{1}{3}$ 米 B、 $\frac{1}{2}$ 米 C、 $\frac{2}{5}$ 米 D、 $\frac{3}{5}$ 米

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7. 某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为x元/件时，获利润y元，则y与x的函数关系为（）

A、y＝（6-x）（500+x） B、y＝（13.5-x）（500+200x） C、y＝（6-x）（500+200x） D、以上答案都不对

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8. 如图是抛物线形拱桥的示意图，已知水面宽4m，顶点离水面2m．当水面宽6m时，水面下降（）

A、1m B、1.5m C、2.5m D、4.5m

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9. 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t² ，方程20t﹣5t²＝15的两根为t₁＝1与t₂＝3，下列对正确的是（）

A、小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B、小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 C、小球从飞出到落地要用4s D、小球的飞行高度可以达到25m

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10. 如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m，水流在离喷出口的水平距离1.25m处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（）

A、0.55米 B、 $\frac{11}{30}$ 米 C、 $\frac{13}{30}$ 米 D、0.4米

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 如图，二次函数 $y_{1} = x^{2} + b x + c$ 与一次函数 $y_{2} = m x + n$ 的图象相交于 $A ， B$ 两点，则关于 $x$ 的方程 $x^{2} + b x + c = m x + n$ 的解为．

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12. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分对应值列表如下：
x
……
$- 3$
0
1
3
5
……
y
……
7
$- 8$
$- 9$
$- 5$
7

则一元二次方程 $a (x + 1)^{2} + b (x + 1) + c = - 5$ 的解为．

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13. 以初速度 $v$ （单位： $m / s)$ 从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度 $h$ （单位：m）与小球的运动时间 $t$ （单位：s）之间的关系式是 $h = v t - 4.9 t^{2}$ ．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为 $v_{1}$ ，经过时间 $t_{1}$ 落回地面，运动过程中小球的最大高度为 $h_{1}$ ；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为 $v_{2}$ ，经过时间 $t_{2}$ 落回地面，运动过程中小球的最大高度为 $h_{2}$ ．若 $h_{1} = 1.21 h_{2}$ ，则 $t_{1} ： t_{2}$ ．

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14. 在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用24m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，则矩形花园ABCD的最大面积为m².

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15. 图1是洞头深门大桥，其桥底呈抛物线，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），桥面CB∥OA，其抛物线解析式为 $y = - \frac{1}{320} {(x - 80)}^{2} + 20$ ，抛物线上点A离桥面距离AB＝22米，若存在一点E使得 $C E = \frac{3}{8} C B$ ，则点E到抛物线的距离ED＝米．

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16. 2023年5月8日，C919商业首航完成.12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”.如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点 $H$ 处相遇，此时相遇点 $H$ 距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米.若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口 $A^{^{'}}$ 、 $B^{^{'}}$ 到地面的距离均保持不变，此时两条水柱相遇点 $H^{^{'}}$ 距地面米.

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三、解答题（共6题，共42分）

17. 跳长绳时，当绳甩到最高处时的形状是抛物线，如图正在甩绳的两名同学拿绳的手间距AB $A B$ 为8米，手到地面的距离AO $A O$ 和BD $B D$ 均为0.8 $0.8$ 米，身高为1.5 $1.5$ 米的小红站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E ，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为 $y = a x^{2} + b x + 0.8$ $y = a x^{2} + b x + 0.8$ .

(1)、求该抛物线的解析式.

(2)、当绳子甩到最高处时，计算绳子与地面的最大距离.

(3)、如果小明站在OD $O D$ 之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶正上方0.6 $0.6$ 米处，求小明的身高.

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18. 某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长＞50m），中间用一道墙隔开（如图），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m，设两饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m²）

(1)、求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围；

(2)、若要使两间饲养室占地总面积达到200m² ，则x为多少？占地总面积有可能达到210m²吗？

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19. 某商店销售进价为40元/件的某种商品，在第 $x (1 \leq x \leq 50)$ 天的售价与销量的相关信息如下表：
时间 $x$ （天）
$1 \leq x < 30$
$30 \leq x \leq 50$
售价（元/件）
$50 + x$
80
每天销量（件）
$120 - 2 x$
设销售商品的每天利润为 $y$ 元．

(1)、求出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

(3)、现该商店决定每销售1件该商品就捐赠 $a$ 元 $(a > 0)$ 给贫困地区，在销售的前30天内该商店当日最大利润为2312元，直接写出 $a$ 的值．

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20. 如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处的球网AB的高度2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.

(1)、若排球运行的最大高度为3.2米，求排球飞行的高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)之间的函数关系式(不要求写自变量x的取值范围)；

(2)、在(1)的条件下，这次所发的球能够过网吗?如果能够过网，是否会出界?请说明理由；

(3)、若队员发球既要过球网，排球又不会出界(排球压线属于没出界)，求二次函数中二次项系数的范围.

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21. 在卡塔尔世界杯期间，图1是某足球运动员在比赛期间的进球瞬间，足球在抽射过程中恰好碰到防守队员的身体，改变足球线路，弹射入网.小冲在训练过程中也尝试这样的射门，如图2是小冲在训练时的示意图，足球在空中的运动轨迹可以抽象成一条抛物线，假设足球在碰到障碍平台后的运动轨迹，与末碰到障碍平台前的轨迹的形状完全相同，且达到最高点时离地高度也相同，并且两条轨迹在同一平面内，射门时的起脚点 $O$ 与障碍平台 $A$ 之间的距离 $O A$ 为 $9 m$ ，障碍平台高为 $1.08 m$ ，若小冲此次训练时足球正好在前方 $5 m$ 的点 $C$ 处达到最高点，离地面最高距离为 $3 m$ ，以地面 $O A$ 所在直线为 $x$ 轴，过点 $O$ 且垂直于 $O A$ 的直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系.

(1)、求过O，C，B三点的抛物线表达式；

(2)、此时障碍平台与球门之间的距离 $A D$ 为 $6 m$ ，已知球门高为 $2.44 m$ ，请你通过计算，（不考虑其他因素）足球在经过障碍平台的反弹后能否顺利射入球门.

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22. 卡塔尔世界杯期间，主办方向中国某企业订购1万幅边长为4米的正方形作品 $A B C D$ ，其设计图案如图所示（四周阴影是四个全等的矩形，用材料甲；中心区是正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，用材料乙）.在厚度保持相同的情况下，两种材料的消耗成本如下表

材料

甲

乙

价格（元/米²）

60

30

设矩形的较短边 $A H$ 的长为x米，制作一幅作品的材料费用为y元.

(1)、 $A^{'} D^{'}$ 的长为米（用含x的代数式表示）；

(2)、求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

(3)、当中心区的边长不小于3时，预备材料的购买资金700万够用吗？通过运算，请写出你的理由.

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四、实践探究题（共2题，共24分）

23. 根据以下素材，探索完成任务．

素材1	某学校一块劳动实践基地大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱 $C E$ 和 $D F$ 组成，立柱高为 $1 m$ ，顶棚最高点距离地面 $E F$ 是 $4 m$ ， $E F$ 的长为 $20 m$ ．
素材2	为提高灌溉效率，学校在 $E F$ 的中点 $O$ 处安装了一款可垂直升降的自动喷灌器 $O A$ ，从喷水口 $A$ 喷出的水流可以看成抛物线，其形状与 $y = - 0.05 x^{2}$ 的图象相同， $O A = 1.45 m$ ，此时水流刚好喷到立柱的端点 $D$ 处．
问题解决
任务1	确定顶棚的形状	以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式．
任务2	探索喷水的高度	问 $O A$ 处喷出的水流在距离 $O$ 点水平距离为多少米时达到最高．
任务3	调整喷头的高度	如何调整喷水口的高度（形状不变），使水流喷灌时恰好落在边缘 $F$ 处．

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24. 根据以下素材，探索完成任务．

如何设计警戒线之间的宽度？
素材1	图1为某公园的抛物线型拱桥，图2是其横截面示意图，测得水面宽度AB=24米，拱顶离水面的距离为CD=4米．
素材2	拟在公园里投放游船供游客乘坐，载重最少时，游船的横截面如图3所示，漏出水面的船身为矩形，船顶为等腰三角形．测得相关数据如下：EF=EK=1.7米，FK=3米， GH=IJ=1.26米，FG=JK=0.4米．
素材3	为确保安全，拟在石拱桥下面的P ， Q两处设置航行警戒线，要求如下： ①游船底部HI在P ， Q之间通行； ②当载重最少通过时，游船顶部E与拱桥的竖直距离至少为0.5米．

问题解决

(1)、任务1：确定拱桥形状

在图2中建立合适的直角坐标系，并求这条抛物线的函数表达式．

(2)、任务2：设计警戒线之间的宽度

求PQ的最大值．

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时间 $x$ （天）	$1 \leq x < 30$	$30 \leq x \leq 50$
售价（元/件）	$50 + x$	80
每天销量（件）	$120 - 2 x$

x	…	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	…
y	…	﹣1.16	﹣0.71	﹣0.24	0.25	0.76	…

x	……	$- 3$	0	1	3	5	……
y	……	7	$- 8$	$- 9$	$- 5$	7

材料	甲	乙
价格（元/米²）	60	30