浙教版数学八升九暑假每天一测预习篇：二次函数的性质

试卷更新日期：2024-07-07 类型：复习试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 已知二次函数 $y = (m - 2) x^{2}$ （ $m$ 为实数，且 $m \neq 2$ ），当 $x \leq 0$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而减小，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m < 0$ B、 $m > 2$ C、 $m > 0$ D、 $m < 2$

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2. 关于函数 $y = a x (x - m) (a > 0)$ 的下列说法中，错误的是（）

A、当 $x = \frac{m}{2}$ 时，函数有最小值 B、当 $x ⩾ \frac{m}{2}$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大 C、对称轴为直线 $x = \frac{m}{2}$ D、图象与 $x$ 轴必有两个交点

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3. 已知二次函数y=x²-2x+c的图象经过点P(-1，y₁)和Q(m，y₂)．若y₁<y₂ ，则m的取值范围是（）

A、-1<m<3 B、1<m<3 C、m<-1或m>3 D、m<-1

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4. 已知二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0，a ， b ， c是常数）的部分自变量x与函数y的对应值：
x
－1
$－ \frac{1}{2}$
0
$\frac{1}{2}$
1
$\frac{3}{2}$
2
$\frac{5}{2}$
3
y
－2
$－ \frac{1}{4}$
1
$\frac{7}{4}$
2
$\frac{7}{4}$
1
$－ \frac{1}{4}$
－2
则方程ax²＋bx＋c＝0（a≠0，a ， b ， c是常数）两根x₁ ， x₂的取值范围是（）

A、－ $\frac{1}{2}$ ＜x₁＜0， $\frac{3}{2}$ ＜x₂＜2 B、－1＜x₁＜－ $\frac{1}{2}$ ， 2＜x₂＜ $\frac{5}{2}$ C、－1＜x₁＜－ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{3}{2}$ ＜x₂＜2 D、－ $\frac{1}{2}$ ＜x₁＜0，2＜x₂＜ $\frac{5}{2}$

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5. 已知二次函数 $y = x^{2} - b x + 1$ ，当 $- \frac{3}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$ 时，函数 $y$ 有最小值 $\frac{1}{2}$ ，则b的值为（）

A、 $- \sqrt{2}$ 或 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{11}{6}$ 或 $\frac{3}{2}$ C、 $\pm \sqrt{2}$ D、 $- \sqrt{2}$ 或 $- \frac{11}{6}$

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6. 已知 $A (- 1 ， y_{1})$ ， $B (1 ， y_{2})$ ， $C (3 ， y_{3})$ 三点都在抛物线 $y = x^{2} - 3 x + m$ 上，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$ C、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ D、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$

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7. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4$ （ $a$ ， $b$ 是常数， $a \neq 0$ ），过点 $A (- 3 m ， 0)$ ， $B (m ， 0)$ ， $C (n ， 4)$ ，若 $- 4 < n < - 2$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $- 2 < m < - 1$ B、 $1 < m < 2$ C、 $m < 1$ 或 $m > 2$ D、 $m < - 2$

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8. 设函数 $y = x^{2} - 2 k x + k - 1$ （ $k$ 为常数），下列说法正确的是（）

A、对任意实数 $k$ ，函数与 $x$ 轴都没有交点 B、存在实数 $n$ ，满足当 $x \geq n$ 时，函数 $y$ 的值都随 $x$ 的增大而减小 C、 $k$ 取不同的值时，二次函数 $y$ 的顶点始终在同一条直线上 D、对任意实数 $k$ ，抛物线 $y = x^{2} - 2 k x + k - 1$ 都必定经过唯一定点

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9. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (- 4 ， 0)$ 和原点，且顶点在第二象限 $.$ 下列说法正确的是（）

A、 $a > 0$ B、当 $x > - 1$ 时， $y$ 的值随 $x$ 值的增大而减小 C、 $b^{2} - 4 a c < 0$ D、函数值有最小值 $4 a - 2 b + c$

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二、填空题（每题4分，共24分）

10. 在二次函数y=ax² $-$ 2ax+b中，当0≤x≤3时， $-$ 2≤y≤6，则ab= ．

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11. 已知二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ ，当 $- 1 \leq x \leq 2$ 时， $y$ 的取值范围为.

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12. $y$ 关于 $x$ 的二次函数 $y = a x^{2} + a^{2}$ ，在 $- 1 \leq x \leq \frac{1}{2}$ 时有最大值6，则 $a =$ ．

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13. 已知，点A（ $-$ 1，y₁），B（ $-$ 0.5，y₂），C（4，y₃）都在二次函数y＝x² $-$ 4x+c的图象上，则y₁ ， y₂ ， y₃的大小关系是．

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14. 已知二次函数y=ax²+bx+c的自变量 $x$ 与函数值 $y$ 之间满足下列数量关系：
$x$
0
2
4
5
$y = a x^{2} + b x + c$
-4
$- \frac{10}{3}$
$- \frac{10}{3}$
m
则 $m$ 0(填“>”或“＜”）.

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15. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c + 2$ 的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：① $a b c < 0$ ；② $b^{2} - 4 a c = 0$ ；③ $a > 2$ ；④ $4 a - 2 b + c > 0$ ．其中正确结论的是． (填序号)

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三、解答题（共8题，共66分）

16. 二次函数y＝ax²+2x+c（a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣1
﹣2
﹣1
2
7
…

(1)、二次函数的图象开口向，对称轴为直线x＝．

(2)、求该二次函数的解析式．

(3)、直接写出当﹣3＜x＜3时，求y的取值范围．

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17. 已知二次函数 $y = m x^{2} + 2 m x + 3$ ，其中 $m \neq 0$ ．

(1)、若该二次函数图象开口向下，当 $- 2 \leq x \leq 2$ 时，二次函数图象的最高点为 $M$ ，最低点为 $N$ ，点 $M$ 的纵坐标为5，求点 $M$ 和点 $N$ 的坐标；

(2)、在二次函数图象上任取两点 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2})$ ，当 $a - 1 \leq x_{1} < x_{2} \leq a + 1$ 时，总有 $y_{1} < y_{2}$ ，求 $a$ 的取值范围．

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18. 在直角坐标系中，设函数y＝m（x+1）²+4n（m≠0，且m ， n为实数）．

(1)、求函数图象的对称轴；

(2)、若m ， n异号，求证：函数y的图象与x轴有两个不同的交点；

(3)、已知当x＝0，3，4时，对应的函数值分别为p ， q ， r ，若2q＜p+r ，求证：m＜0．

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19. 已知二次函数y₁＝ax²﹣bx+c ， y₂＝cx²﹣bx+a ，这里a、b、c为常数，且a＞0，c＜0，a+c≠0．

(1)、若b＝0，令y＝y₁+y₂ ，求y的函数图象与x轴的交点数；

(2)、若x＝x₀时，y₁＝p ， y₂＝q ，若p＞q ，求x₀的取值范围；

(3)、已知二次函数y₁＝ax²﹣bx+c的顶点是（﹣1，﹣4a），且（m﹣1）a﹣b+c≤0，m为正整数，求m的值．

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20. 已知二次函数y＝﹣x²+2kx+1﹣k（k是常数）

(1)、求此函数的顶点坐标．

(2)、当x≥1时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．

(3)、当0≤x≤1时，该函数有最大值3，求k的值．

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21. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为 $(3 ， 0)$ ，点C的坐标为 $(0 ， 3)$ .

(1)、求b与c的值；

(2)、求函数的最大值；

(3)、 $M (m ， n)$ 是抛物线上的任意一点，当 $n \geq \frac{7}{4}$ 时，利用函数图象写出 $m$ 的取值范围.

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22. 设二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ （ $b$ ， $c$ 是常数）的图像与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、若 $A$ ， $B$ 两点的坐标分别为 $(- 1 ， 0)$ ， $(3 ， 0)$ ，求该二次函数的表达式.

(2)、若函数 $y$ 的表达式可以写成 $y = - {(x + h)}^{2} + 3$ （ $h$ 是常数）的形式，求 $c - b$ 的最大值.

(3)、设一次函数 $p = x - m$ （ $m$ 是常数），若二次函数的表达式还可以写成 $y = - (x - m) (x - m + 1)$ 的形式，当函数 $q = y - p$ 的图像经过点 $(x_{0} ， 0)$ 时，求 $x_{0} - m$ 的值.

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23. 已知二次函数的解析式为 $y = - x^{2} + 2 m x - m^{2} + 4$ ．

(1)、求证：该二次函数图象与x轴一定有2个交点；

(2)、若 $m = 2$ ，点 $M (n ， y_{1})$ ， $N (n + 2 ， y_{2})$ 都在该二次函数的图象上，且 $y_{1} y_{2} < 0$ ，求n的取值范围；

(3)、当 $m - 3 \leq x \leq 5$ 时，函数最大值与最小值的差为8，求m的值．

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x	－1	$－ \frac{1}{2}$	0	$\frac{1}{2}$	1	$\frac{3}{2}$	2	$\frac{5}{2}$	3
y	－2	$－ \frac{1}{4}$	1	$\frac{7}{4}$	2	$\frac{7}{4}$	1	$－ \frac{1}{4}$	－2

$x$	0	2	4	5
$y = a x^{2} + b x + c$	-4	$- \frac{10}{3}$	$- \frac{10}{3}$	m

x	…	﹣2	﹣1	0	1	2	…
y	…	﹣1	﹣2	﹣1	2	7	…