浙教版数学七升八暑假每天一测预习篇：勾股定理

试卷更新日期：2024-07-07 类型：复习试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（　　）

A、a=15，b=8，c=17 B、a=9，b=12，c=15 C、a=7，b=24，c=25 D、a=3，b=5，c=7

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2. 在锐角 $△ A B C$ 中， $A B = 15$ ， $A C = 13$ ，高 $A D = 12$ ，则BC的长度为（）

A、16 B、15 C、14 D、13

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3. 下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C, A D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线，若 $A D = B C = 2$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、4 D、 $\sqrt{5}$

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5. 如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A ， B ， C ， D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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6. 满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（）

A、BC=1，AC=2，AB= $\sqrt{3}$ B、BC：AC：AB=3：4：5 C、∠A+∠B=∠C D、∠A：∠B：∠C=3：4：5

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7. 如图，圆柱的底面周长为6cm ， AC是底面圆的直径，高BC＝6cm ，点P是BC上一点且PC＝BC ．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）

A、5cm B、 $2 \sqrt{13}$ cm C、 $4 + \frac{6}{π}$ cm D、7cm

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8. 如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米.若将它往水平方向向前推进3米（即DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（）

A、1米 B、 $\sqrt{2}$ 米 C、2米 D、4米

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9. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S₁ ， S₂ ， S₃和S₄ ．若S₁＝2，S₂＝8，S₄＝3，则S₃的值是（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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10. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深，葭长各几何？”
题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺.如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B’（如图）.则这根芦苇的长度是（）

A、10尺 B、11尺 C、12尺 D、13尺

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 如图所示的一块地，∠ADC=90°，CD=3，AD=4，AB=13，BC=12，求这块地的面积为.

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12. 一艘轮船8：00从A港出发向西航行，10：00折向北航行，平均航速均为20千米/时，则11：30时该轮船离A港的距离为．

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13. 如图，一架长2.5米的梯子斜立在一面竖直的墙上，梯子底端距离墙底0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯子底端将向左滑动米．

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14. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为 $a$ ，较短直角边长为 $b$ ，若 $a b = 8$ ，大正方形的面积为 $25$ ，则小正方形的边长为．

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15. 下图是某公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走捷径AC，于是在草坪内走出了一条不该有的路AC，已知AB=40米，BC=30米，他们踩坏了米长的草坪，只为少走米的路.

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16. 如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了AB是完全固定的钢架外，AD，BC，DE属于位置可变的定长钢架.如图1所示， $A B = 29 c m ， A D = 13 c m ， B C = 20 c m$ ，伸缩杆PQ的两端分别固定在BC，CE两边上，其中 $P B = 13 c m ， C Q = 20 c m$ .当伸缩杆PQ打开最大时，如图2所示， $∠ A D C$ 成 $18 0^{°}$ ，此时 $P Q = \sqrt{449} c m$ ，则可变定长钢架CD的长度为 $c m$ .当伸缩杆完全收拢时， $C D / / A B$ ，则此时床高(CD与AB之间的距离）为cm.

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三、解答题

17. 用刻度尺和圆规作一条线段，使它的长度为 $\sqrt{5}$ cm．（保留作图痕迹）

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18. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在AC边上，BD＝AB ．

(1)、求△ABC的面积；

(2)、求AD的长．

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19. 如图，在锐角△ABC中，点E是AB边上一点，BE＝CE，AD⊥BC于点D，AD与EC交于点G.

(1)、求证：EA=EG

(2)、若BE＝10，CD＝3，G为CE中点，求AG的长.

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20. 在△ABC中， $A B = A C ， A D ⊥ B C ， E$ 为AC边上一点，过点 $B$ 作 $B F / / A C$ 交ED延长线于点 $F$ .

(1)、求证： $B F = C E$ .

(2)、连结BE，若 $E$ 是AC中点， $B F = 5 ， A D = 6$ ，求BE的长.

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21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC ， AE⊥CE ，BF⊥CE于点F ．

(1)、求证：△AEC≌△CFB；

(2)、若AE=5，EF=7，求AB的长．

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22. 在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，

(1)、求高台A比矮台B高多少米？

(2)、求旗杆的高度OM；

(3)、玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．

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23. 为了测量学校旗杆的高度，八(1)班的两个数学研究小组设计了不同的方案，请结合下面表格的信息，完成任务问题．

测量旗杆的高度
测量工具	测量角度的仪器、皮尺等
测量小组	第一小组	第二小组
测量方案示意图
设计方案及测量数据	在地面确定点C，并测得旗杆顶端A的仰角，即∠ACB=45°．	如图1，绳子垂直挂下来时，相比旗杆，测量多出的绳子长度FP为2米．如图2，绳子斜拉直后至末端点P位置，测量点P到地面的距离PD为1米，以及点P到旗杆AB的距离PE为9米．

(1)、任务一：判断分析

第一小组要测旗杆AB的高度，只需要测量的长度为线段并说明理由．

(2)、任务二：推理计算

利用第二小组获得的数据，求旗杆的高度AB．

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24. 定义：若三角形满足：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边的平方，则称这个三角形为“类勾股三角形”.如图1在 $△ A B C$ 中， $A B^{2} + A C^{2} - A B \cdot A C = B C^{2}$ ，则 $△ A B C$ 是“类勾股三角形”.

(1)、等边三角形一定是“类勾股三角形”，是命题（填真或假）.

(2)、若 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A B = c ， A C = b ， B C = a$ ，且 $b > a$ ，若 $△ A B C$ 是“类勾股三角形”，求 $∠ B$ 的度数.

(3)、如图2，在等边三角形 $A B C$ 的边 $A C ， B C$ 上各取一点 $D$ ， $E$ ，且 $A D < C D ， A E ， B D$ 相交于点 $F$ ， $B G$ 是 $△ B E F$ 的高，若 $△ B G F$ 是“类勾股三角形”，且 $B G > F G$ .
①求证： $A D = C E$ .
②连结 $C G$ ，若 $∠ G C B = ∠ A B D$ ，那么线段 $A G ， E F ， C D$ 能否构成一个“类勾股三角形”？若能，请证明；若不能，请说明理由.

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