天津市河北区2023-2024学年高二下学期末质量检测数学试题

试卷更新日期：2024-07-05 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合 $A = {1, 2, 6}, B = {2, 4}, C = {x \in R | - 1 \leq x \leq 5}$ ，则 $(A \cup B) \cap C =$ （）

A、 ${2}$ B、 ${1, 2, 4}$ C、 ${1, 2, 4, 6}$ D、 ${x \in R | - 1 \leq x \leq 5}$

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2. 设 $a \in R$ ，则“ $a > 1$ ”是“ $a^{2} > a$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 设 $a = \log_{2} π$ ， $b = \log_{\frac{1}{2}} π$ ， $c = π^{- 2}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $c > a > b$ B、 $c > b > a$ C、 $a > b > c$ D、 $a > c > b$

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4. 函数 $f (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标的概率为（）

A、 $0.1 \times {0.9}^{3}$ B、 $C_{4}^{1} \times {0.1}^{3} \times 0.9$ C、 ${0.1}^{3} \times {0.9}^{3}$ D、 $C_{4}^{1} \times 0.1 \times {0.9}^{3}$

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6. 对甲、乙两组数据进行统计，获得以下散点图（左图为甲，右图为乙），下列结论不正确的是（）

A、甲、乙两组数据都呈线性相关 B、乙组数据的相关程度比甲强 C、乙组数据的相关系数r比甲大 D、乙组数据的相关系数r的绝对值更接近1

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7. 已知直线 $m, n$ 和平面 $α$ ，则（）

A、若 $m / / α, m ⊥ n$ ，则 $n ⊥ α$ B、若 $m ⊥ α, m ⊥ n$ ，则 $n / / α$ C、若 $m ⊥ α, n \subset α$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m / / α, n / / α$ ，则 $m / / n$

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8. 课桌上有12本书，其中理科书籍有4本，现从中任意拿走6本书，用随机变量 $ξ$ 表示这6本书中理科书籍的本数，则概率为 $\frac{C_{8}^{6} C_{4}^{0}}{C_{12}^{6}} + \frac{C_{8}^{5} C_{4}^{1}}{C_{12}^{6}}$ 的是（）

A、 $P (ξ \leq 1)$ B、 $P (ξ = 1)$ C、 $P (ξ > 1)$ D、 $P (ξ > 2)$

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9. 在边长为2的正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $C D$ 的中点，则 $(\vec{A D} + \vec{A B}) \cdot \vec{A E} =$ （）

A、1 B、3 C、4 D、6

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10. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ．给出下列结论：
① $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ；② $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{12}]$ 上单调递增；
③把函数 $y = \sin 2 x$ 的图象上所有点向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，可得到函数 $y = f (x)$ 的图象．
其中所有正确结论的序号是（）

A、① B、①② C、②③ D、①②③

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二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案填在题中横线上．

11. i是虚数单位，复数 $\frac{9 + 2 i}{2 + i} =$ ．

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12. 下面是一个2×2列联表，其中a、b处的值分别为、．

$y_{1}$
$y_{2}$
总计
$x_{1}$
a
21
73
$x_{2}$
2
25
27
总计
b
46
100

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13. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为 $\frac{9 π}{2}$ ，则正方体的棱长为 .

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14. 某学校有 $A$ ， $B$ 两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第一天去 $A$ 餐厅，那么第二天去 $A$ 餐厅的概率为0.6；如果第一天去 $B$ 餐厅，那么第二天去 $A$ 餐厅的概率为0.8．则甲同学第二天去 $A$ 餐厅用餐的概率为；

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15. 已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2, x > m \\ x^{2} + 4 x + 2, x \leq m \end{cases}$ 的图象与直线y＝x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是．

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三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A C$ 与 $B D$ 交于 $O$ ， $E$ 是 $D D_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $B D_{1} / /$ 平面 $A C E$ ；

(2)、求证： $B_{1} D_{1} ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ．

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17. 已知 $\cos α = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ， $α \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ．

(1)、求 $\sin (α + \frac{π}{3})$ 的值；

(2)、若 $\sin β = \frac{3}{5}$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $\cos (α + 2 β)$ 的值．

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，设向量 $\vec{m} = (\sin A, b + c)$ ， $\vec{n} = (\sin C - \sin B, a + b)$ ，且 $\vec{m} ∥ \vec{n}$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = \sqrt{7}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长，

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19. 袋中装有大小、形状、材质完全相同的小球，其中M个红球，N个黄球．

(1)、若 $M = 2$ ， $N = 3$ ，现采用不放回摸球，每次摸1个小球，求在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到黄球的概率；

(2)、若 $M = 4$ ，现采用有放回摸球n次，每次摸1个小球，设摸到红球的次数为随机变量X，若 $E (X) = 2$ ， $D (X) = \frac{4}{3}$ ，求n和N的值；

(3)、若 $M = 3$ ， $N = 4$ ，现从袋中摸出2个球，取到红球记1分，取到黄球记2分，记最后总得分为随机变量Y，求Y的分布列以及数学期望．

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	$y_{1}$	$y_{2}$	总计
$x_{1}$	a	21	73
$x_{2}$	2	25	27
总计	b	46	100