江苏省扬州市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题

试卷更新日期：2024-07-04 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）

1. 设复数 $z$ 满足 $z - i = 1 + i$ ，则 $\frac{z}{i} =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $- i$ D、 $i$

查看试题解析
2. 方程 $2 x + ln x - 5 = 0$ 的解所在区间为（）

A、 $(4, 5)$ B、 $(3, 4)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(1, 2)$

查看试题解析
3. 数据 $63, 65, 70, 73, 76, 78, 80, 84, 88, 90$ 的45百分位数为（）

A、73 B、76 C、77 D、78

查看试题解析
4. 已知平面向量 $\vec{a} = (1, 0), \vec{b} = (- 1, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{1}{5}, - \frac{2}{5})$ B、 $(- \frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ C、 $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ D、 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

查看试题解析
5. 如图，为了测量河对岸 $A, B$ 两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点 $C, D, E$ .从 $D$ 点测得 $∠ A D C = {67.5}^{\circ}$ ，从 $C$ 点测得 $∠ A C D = 45^{\circ}, ∠ B C E = 75^{\circ}$ ，从 $E$ 点测得 $∠ B E C = 60^{\circ}$ .若测得 $D C = \sqrt{3}, C E = 2 \sqrt{2}$ （单位：百米），则 $A, B$ 两点的距离为（）百米.

A、 $2 \sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6}$ D、3

查看试题解析
6. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F, G, H$ 分别是棱 $A A_{1}, A B, B C, C_{1} D_{1}$ 的中点，下列结论正确的是（）.

A、 $E F$ $∥$ $G D_{1}$ B、 $D_{1} E ⊥ F G$ C、 $F G ⊥$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ D、平面 $D_{1} E F$ $∥$ 平面 $G H C_{1}$

查看试题解析
7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D, E$ 是 $B C$ 上的两个三等分点， $A B = 12, A C = 9, ∠ B A C = 60^{\circ}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{A E}$ 的值为（）

A、50 B、80 C、86 D、110

查看试题解析
8. 已知 $cos α cos (α + \frac{π}{3}) = sin α cos (α - \frac{π}{6})$ ，则 $tan (\frac{π}{4} + 2 α)$ 的值（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

查看试题解析

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）

9. 在 $△ A B C$ 中，角A、B、C所对的边为 $a 、 b 、 c$ ，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（）

A、 $a = 4, b = 5, c = 6$ B、 $A = 30^{\circ}, B = 45^{\circ}, c = 5$ C、 $a = \sqrt{3}, b = 2, A = 45^{\circ}$ D、 $a = 3, b = 2, C = 60^{\circ}$

查看试题解析
10. 连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷，结果向上的点数小于3”记为事件A，“第二次抛掷，结果向上的点数是偶数”记为事件B，“两次拋掷，结果向上的点数之和为奇数”记为事件 $C$ ，则下列叙述中正确的有（）

A、A与 $B$ 互斥 B、A与 $C$ 相互独立 C、 $B$ 与 $C$ 对立 D、 $P (A + B) = \frac{2}{3}$

查看试题解析
11. 如图，正方形 $A B C D$ 的中心为 $O$ ，边长为4，将其沿对角线 $A C$ 折成直二面角 $D^{'} - A C - B$ ，设 $M$ 为 $A D^{'}$ 的中点， $N$ 为 $B C$ 的中点，则下列结论正确的有（）

A、三棱锥 $D^{'} - A B C$ 的外接球表面积为 $32 π$ B、直线 $M N$ 与平面 $A B C$ 所成角的正切值为 $\frac{1}{2}$ C、点 $C$ 到平面 $O M N$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ D、三角形 $M O N$ 沿直线 $M N$ 旋转一周得到的旋转体的体积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π$

查看试题解析

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 已知一个正四棱台的体积为 $152 {cm}^{3}$ ，上､下底面边长分别为 $4 cm 、 6 cm$ ，则棱台的高为 $cm$ .

查看试题解析
13. 若复数 $z$ 满足 $|z - 2 i| = 1$ ，则 $|z|$ 的最小值是.

查看试题解析
14. 已知 $△ A B C$ 的面积为 $S$ 满足条件 $\sqrt{3} (\vec{A B} \cdot \vec{A C}) = 2 S$ ，则 $∠ A =$ .；若 $∠ B = 2 ∠ C$ ，延长 $C B$ 至点 $D$ ，使得 $B D = A C$ ，则 $tan ∠ A D C =$ .

查看试题解析

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）

15. 已知 $\vec{a} = (0, 1), \vec{b} = (- 1, 2)$ .设 $\vec{A B} = \vec{a} + 2 \vec{b}, \vec{B C} = λ \vec{a} + \vec{b} (λ \in R)$ .

(1)、若 $A, B, C$ 三点共线，求 $λ$ 的值；

(2)、若 $A B ⊥ B C$ ，求 $λ$ 的值.

查看试题解析
16. 某保险公司为了给年龄在20~70岁的民众提供某种医疗保障，设计了一款针对某疾病的保险.现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，并按年龄段 $[20, 30), [30, 40), [40, 50), [50, 60), [60, 70]$ 分成了五组，其频率分布直方图如图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表所示：
年龄
$[20, 30)$
$[30, 40)$
$[40, 50)$
$[50, 60)$
$[60, 70]$
保费（单位：元）
$x$
$2 x$
$3 x$
$5 x$
$7 x$

(1)、若采用分层抽样的方法，从年龄段在 $[30, 40)$ 和 $[40, 50)$ 内的参保人员中共抽取6人进行问卷调查，再从中选取2人进行调查对该种保险的满意度，求这2人中恰好有1人年龄段在 $[30, 40)$ 内的概率.

(2)、由于10000人参加保险，该公司每年为此项保险支出的各种费用为200万元.为使公司不亏本，则年龄段 $[50, 60)$ 的参保人员每人每年需要缴纳的保费至少为多少元？

查看试题解析
17. 已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{3}) + sin (2 x - \frac{π}{3}) + 2 {cos}^{2} x - 2$ .

(1)、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 2 π]$ 上的所有零点之和.

查看试题解析
18. 如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 为菱形， $∠ A_{1} A B = 60^{\circ}, A B = A_{1} C = 2 B C = 2$ ， $∠ A C B = 90^{\circ}, M$ 为 $A B$ 中点， $A C_{1}$ 与 $A_{1} C$ 的交点为 $N$ .

(1)、求证： $M N$ //平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、求证： $A_{1} M ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(3)、求二面角 $B - A A_{1} - C$ 的正弦值.

查看试题解析
19. 如图所示，已知 $△ A B C$ 是以 $A B$ 为斜边的等腰直角三角形，在 $△ A B D$ 中， $A D = 6, B D = 3$ ， $\vec{D E} = 2 \vec{E B}$ .

(1)、若 $∠ A D B = 135^{\circ}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、①求 $A B^{2} - 6 A B \cdot cos ∠ A B D$ 的值；
②求 $C E^{2}$ 的最大值.

查看试题解析

年龄	$[20, 30)$	$[30, 40)$	$[40, 50)$	$[50, 60)$	$[60, 70]$
保费（单位：元）	$x$	$2 x$	$3 x$	$5 x$	$7 x$