广东省名校教研联盟2023-2024学年高三下学期5月模拟预测考试数学试题

试卷更新日期：2024-06-01 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 集合 $M = {x | (x - 1) (x + 2) > 0}$ ，若 $M ∩ N = \emptyset$ ，则集合 $N$ 可以为（）

A、 ${x | - 2 < x < 2}$ B、 ${x | - 1 \leq x < 2}$ C、 ${- 2, 1}$ D、 ${- 1, 2}$

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2. 已知 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 为方程 $x^{2} - 4 x + 13 = 0$ 的两个虚根，则 $\frac{z_{2}}{| z_{1} |} + \frac{z_{1}}{| z_{2} |} =$ （）

A、 $- \frac{10}{13} \sqrt{13}$ B、 $\frac{4}{13} \sqrt{13}$ C、 $\frac{16}{13} \sqrt{13}$ D、 $- \frac{4}{13} \sqrt{13}$

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3. 已知 $0 \leq x < 2 π$ ，则 $c o s 2 x + c o s x \geq 0$ 成立的充分不必要条件是（）

A、 $0 \leq x < \frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2} \leq x \leq π$ C、 $0 \leq x < π$ D、 $π \leq x < 2 π$

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4. 已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线与抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 分别相交于点O ， M ， N ，其中O为坐标原点，若 $△ M O N$ 的面积为2，则E的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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5. 已知函数 $f (x) = 5 s i n (3 x + φ)$ ， $φ \in [- 3, 6]$ ，若 $f (x) + f (\frac{π}{2} - x) = 0$ ，则所有满足条件的 $φ$ 之和为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{4}$

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6. 已知 $f (x) = x^{3} + π^{x} - {(\frac{1}{π})}^{x} + e$ ，若 $f (a) + f (b) < 2 e$ ，则（）

A、 $a + b < 0$ B、 $a + b > 0$ C、 $a - b < 0$ D、 $a - b > e$

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7. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别是a ， b ， c ， $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} = 1$ ， $b^{2} - c^{2} = a^{2} c o s C$ ，则 $t a n B =$ （）

A、 $- 2 \sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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8. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数， $f (1) = 2$ ，若对 $\forall t \in R$ 有 $f (1 - t x) = f (9 + t x)$ ， $f (t x + 2) + f (t x - 2) = f (9)$ 成立，则 $\sum_{n = 1}^{76} f (n) =$ （）

A、72 B、75 C、77 D、80

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 若函数 $y = f (x)$ 的图象上至少存在两个不同的点P ， Q ，使得曲线 $y = f (x)$ 在这两点处的切线垂直，则称函数 $y = f (x)$ 为“垂切函数”.下列函数中为“垂切函数”的是（）

A、 $y = x^{2}$ B、 $y = e^{x}$ C、 $y = x l n x$ D、 $y = s i n x$

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10. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边长为4， $\vec{D_{1} P} = 3 \vec{P C_{1}}$ ，平面 $α$ 经过点 $A_{1}$ ， $P$ ，则（）

A、 $A_{1} P ⊥ P C$ B、直线 $A_{1} P$ 与直线 $B C$ 所成角的正切值为 $\frac{3}{4}$ C、直线 $A_{1} P$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正切值为 $\frac{4}{3}$ D、若 $C \in α$ ，则正方体截平面 $α$ 所得截面面积为26

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11. 已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为F，点 $P (- 1, t)$ 在C的准线上，过点P作 $C$ 的两条切线，切点分别为M，N，则（）

A、M，F，N三点共线 B、若 $\vec{P F} = \frac{1}{3} \vec{P M} + \frac{2}{3} \vec{P N}$ ，则 $C$ 的方程为 $x^{2} = 2 \sqrt{2} y$ C、当 $t = - 1$ 时，直线 $M N$ 的方程为 $y = - \frac{1}{2} x + 1$ D、 $△ P M N$ 面积的最小值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. $(4 x - 3 y) {(2 x + y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为.

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13. 如图，等边 $△ A B C$ 的边长为4，点D为边 $A B$ 的中点，以 $C D$ 为折痕把 $△ A D C$ 折叠，在折叠过程中当三棱锥 $A - B C D$ 的体积最大时，该棱锥的外接球的表面积为．

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14. 已知点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左、右焦点，点A为C的右顶点，点P为C右支上的动点，记 $r_{1}$ ， $r_{2}$ 分别为 $△ P F_{1} A$ ， $△ P A F_{2}$ 内切圆半径．若 $|P F_{1}|$ ， $|F_{1} F_{2}|$ ， $|P F_{2}|$ 成等差数列，则 $\frac{r_{1}}{r_{2}} =$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 截至2月10日2时，中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》全媒体累计触达142亿人次，收视传播人次等数据创下新纪录．

(1)、某媒体随机抽查200名在线用户，得到2×2列联表，根据该表是否有99.5%的把握认为完整观看与年龄有关?
完整观看
未完整观看
合计
不超过30岁
60
40
100
超过30岁
80
20
100
合计
140
60
200

(2)、某媒体举办“看春晚赢文创”在线活动，每个在线用户在看春晚期间有三次答题机会，三次回答正确就可以赢得文创奖品，第一题预设难度（预设难度：用户回答正确的概率）0.8，后两题预设难度0.6，且每道题回答正确与否互不影响．记X为每个参加答题的用户答对题目个数，求X的分布列及期望．
参考公式和数据：
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.025
0.010
0.005
$k_{0}$
5.024
6.635
7.879

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16. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中有一八面体 $G - M N P Q - H$ ，其中点G，H分别为正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，正方形 $A B C D$ 的中心，点M，N，P，Q分别为侧棱 $A_{1} A$ ， $B_{1} B$ ， $C_{1} C$ ， $D_{1} D$ 的中点，且 $A A_{1} = 2 A B = 2$ ．

(1)、证明：平面 $M H Q$ //平面 $N G P$ ；

(2)、求钝二面角 $G - N P - H$ 的余弦值．

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17. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公差不为0的等差数列，其前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{3} = 3$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{6}$ 成等比数列．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \{\begin{array}{l} a_{n} + 3, n = 2 k, \\ 2^{a_{n}}, n = 2 k - 1, \end{array}$ ， $k \in N^{*}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前100项和 $T_{100}$ ．

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18. 椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的周长为 $2 \sqrt{6} π$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、如图， $F_{1}$ 是 $C$ 的左焦点，过 $F_{1}$ 的直线交圆O于点M，N，线段 $M N$ 的垂直平分线交C于点P，Q，交 $M N$ 于点A．
（i）证明：四边形 $M P N Q$ 的面积为定值．
（ii）记 $△ P A N$ ， $△ M A Q$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = l n x - x$ ， $g (x) = - x e^{- x}$ .

(1)、曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的切线分别是 $l_{1}$ ： $y = θ (x)$ ， $l_{2}$ ，且 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，求 $l_{1}$ 的方程；

(2)、已知 $a f (x) + g (x) + 2 a < 0 (a \neq 0)$ .
（i）求 $a$ 的取值范围；
（ii）设函数 $F (x) = f (x + a) + \frac{a x}{g (x)} + x + a (x > 0)$ 的最大值为 $M$ ，比较 $M$ 与（1）中的 $θ (x)$ 的大小.

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	完整观看	未完整观看	合计
不超过30岁	60	40	100
超过30岁	80	20	100
合计	140	60	200

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.025	0.010	0.005
$k_{0}$	5.024	6.635	7.879