广东省北中、河中、清中、惠中、阳中、茂中6校2023-2024学年高二下学期联合质量监测考试数学试卷

试卷更新日期：2024-05-29 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）

A、中位数 B、平均数 C、方差 D、极差

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2. 已知向量 $\overset{⃑}{a} = (1, 1, 0)$ ， $\overset{⃑}{b} = (- 1, 0, 2)$ ，且 $k \overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ 与 $2 \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）

A、－1 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{7}{5}$

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3. 设a，b，c，d是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设函数 $f (x) = x + l n x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为（）

A、 $x - y - 1 = 0$ B、 $2 x - y - 1 = 0$ C、 $x - y - 2 = 0$ D、 $2 x - y - 2 = 0$

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5. 袋子里有8个红球和4个黄球，从袋子里有放回地随机抽取4个球，用 $X$ 表示取到红球的个数，则 $D (X) =$ （）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{8}{9}$ C、 $\frac{16}{9}$ D、 $\frac{8}{3}$

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6. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线 $A P ， A Q$ 的斜率之积为 $\frac{1}{4}$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7. 中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往A，B，C等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去B，C两个数点中的一个，则不同的安排方法数是（）

A、72 B、84 C、88 D、100

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8. 若函数 $f (x) = \ln x - x^{2} + a x$ 在 $x \in [\frac{1}{e}, e]$ 上有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(1, e - \frac{1}{e})$ B、 $(1, e + \frac{1}{e})$ C、 $(1, e - \frac{1}{e}]$ D、 $(1, e + \frac{1}{e}]$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x + 3$ ，则（）．

A、 $f (x)$ 有两个极值点 B、点 $(0, 3)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 C、 $f (x)$ 有三个零点 D、若方程 $f (x) = k$ 有两个不同的根，则 $k = 1$ 或5

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10. 下列命题正确的是（）

A、若样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{6}$ 的方差为3，则数据 $2 x_{1} + 1, 2 x_{2} + 1, \dots, 2 x_{6} + 1$ 的方差为12 B、以模型 $y = c e^{k x}$ 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设 $z = \ln y$ ，求得线性回归方程为 $\hat{z} = 2 x + 0.5$ ，则 $c = e^{0.5}, k = 2$ C、若某校高三（1）班8位同学身高（单位 $cm$ ）分别为： $170$ ， $168$ ， $172$ ， $173$ ， $174$ ， $175$ ， $173$ ， $178$ ，则这组数据的下四分位数（即第25百分位数）为170 D、根据变量 $X$ 与 $Y$ 的样本数据计算得到 $χ^{2} = 3.627$ ，根据 $α = 0.05$ 的独立性检验 $(x_{0.05} = 3.841)$ ，可判断 $X$ 与 $Y$ 有关，且犯错误的概率不超过0.05

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11. 已知O为坐标原点，过抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点 $M (p, 0)$ ，若 $| A F | = | A M |$ ，则（）

A、直线 $A B$ 的斜率为 $2 \sqrt{6}$ B、 $| O B | = | O F |$ C、 $| A B | > 4 | O F |$ D、 $∠ O A M + ∠ O B M < 180 °$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 某市有30000人参加阶段性学业水平检测，检测结束后的数学成绩X服从正态分布 $N (120 ， σ^{2})$ ，若 $P (100 \leq X \leq 120) = 0.495$ ，则成绩在140分以上的大约为人．

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13. 设直线y＝x＋2a与圆C：x²＋y²－2ay－2＝0相交于A ， B两点，若|AB|＝2 $\sqrt{3}$ ，则圆C的面积为．

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14. 已知 $x = x_{1}$ 和 $x = x_{2}$ 分别是函数 $f (x) = 2 a^{x} - e x^{2}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的极小值点和极大值点．若 $x_{1} < x_{2}$ ，则a的取值范围是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 设 $f (x) = s i n x c o s x + a c o s x ， x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的值域：

(2)、若 $f (x)$ 存在极值点，求实数a的取值范围．

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16. 如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面为菱形， $A B = A C = 2$ ， $A A_{1} = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、证明：平面 $A_{1} C_{1} B ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ ；

(2)、求直线 $D C_{1}$ 与平面 $A_{1} C_{1} B$ 所成角的正弦值．

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17. 近年来，一种全新的营销模式开始兴起——短视频营销．短视频营销以短视频平台为载体，通过有限时长，构建一个相对完整的场景感染用户，与用户产生吸引、了解、共鸣、互动、需求的心理旅程．企业通过短视频作为营销渠道，打通新的流量入口，挖掘受众群体，获得新的营销空间．某企业准备在三八妇女节当天通过“抖音”和“快手”两个短视频平台进行直播带货．

(1)、已知小李3月7日选择平台“抖音”、“快手”购物的概率分别为0.6，0.4，且小李如果第一天选“抖音”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为0.6；如果第一天选择“快手”平台，那么第二天选择“抖音”平台的概率为0.7．求3月8日小李选择“抖音”平台购物的概率；

(2)、三八妇女节这天，“抖音”平台直播间进行秒杀抢购活动，小李一家三人能下单成功的概率分别为 $p$ ， $2 p$ ， 0.5，三人是否抢购成功互不影响．若X为三人下单成功的总人数，且 $E (X) = 1 ． 7$ ，求p的值及X的分布列．

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18. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，焦距为4，过右焦点 $F$ 作垂直于实轴的直线交 $C$ 于 $B$ 、 $D$ 两点，且 $△ A B D$ 是直角三角形．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、 $M$ 、 $N$ 是 $C$ 右支上的两动点，设直线 $A M$ 、 $A N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，若 $k_{1} k_{2} = - 2$ ，求点 $A$ 到直线 $M N$ 的距离 $d$ 的取值范围．

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19. 相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，并根据小石子所排列的形状把数分成许多类．现有三角形数表按如图的方式构成，其中项数 $n \geq 5$ ，第一行是以1为首项，2为公差的等差数列．从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如： $f (2, 1) = f (1, 1) + f (1, 2)$ ； $f (i, j)$ 为数表中第 $i$ 行的第 $j$ 个数．
$f (1, 1) f (1, 2) \dots f (1, n - 1) f (1, n)$
$f (2, 1) f (2, 2) \dots f (2, n - 1)$
$f (3, 1) \dots f (3, n - 2)$
……
$f (n, 1)$

(1)、求第2行和第3行的通项公式 $f (2, j)$ 和 $f (3, j)$ ；

(2)、一般地，证明一个与正整数 $n$ 有关的命题，可按下列步骤进行：①证明当 $n = n_{0} (n \in N^{*})$ 时命题成立；②以“当 $n = k (k \in N^{*}, k \geq n_{0})$ 时命题成立”为条件，推出“当 $n = k + 1$ 时命题也成立．”完成这两个步骤就可以断定命题对 $n_{0}$ 开始的所有正整数 $n$ 都成立，这种方法即数学归纳法．请证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求 $f (i, 1)$ 关于 $i (i = 1, 2, \dots, n)$ 的表达式；

(3)、若 $f (i, 1) = i (a_{i} - 1)$ ， $b_{i} = \frac{1}{a_{i} a_{i + 1}}$ ，试求一个等比数列 $g (i) (i = 1, 2, \dots, n)$ ，使得 $S_{n} = b_{1} g (1) + b_{2} g (2) + \dots + b_{n} g (n) < \frac{1}{2}$ ，且对于任意的 $m \in (\frac{1}{4}, \frac{1}{3})$ ，均存在实数 $λ$ ，当 $n > λ$ 时，都有 $S_{n} > m$ ．

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