广东省麻涌，塘厦，七中，济川四校2023-2024学年高一下学期5月期中联考数学试题

试卷更新日期：2024-06-08 类型：期中考试

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一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，一个选项符合要求，选对得5分，错选得0分.）

1. 若复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 3 - i$ ，则 $z$ 的虚部等于（）

A、4 B、2 C、-2 D、-4

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2. 下列说法正确的是（）

A、若 $|\overset{⃑}{a}| = |\overset{⃑}{b}|$ ，则 $\overset{⃑}{a} = \pm \overset{⃑}{b}$ B、零向量的长度是0 C、长度相等的向量叫相等向量 D、共线向量是在同一条直线上的向量

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3. 数据 $68 ， 70 ， 80 ， 88 ， 89 ， 90 ， 96 ， 98$ 的第15百分位数为（）

A、69 B、70 C、75 D、96

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4. 在 $△ A B C$ 中，若 $B C = \sqrt{2}, A C = 2, B = 4 5^{∘}$ ，则角 $A$ 等于（）

A、 $6 0^{∘}$ B、 $3 0^{∘}$ C、 $6 0^{∘}$ 或 $12 0^{∘}$ D、 $3 0^{∘}$ 或 $15 0^{∘}$

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为靠近点 $A$ 的三等分点， $E$ 为 $B C$ 的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，以向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 为基底，则向量 $\vec{D E} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b}$

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6. 如图，矩形ABCD中， $A B = \sqrt{3}$ ，正方形ADEF的边长为1，且平面 $A B C D ⊥$ 平面ADEF，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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7. 西安大唐不夜城的“不倒翁小姐姐”因为一段“把手给我”的短视频而被人熟知.“不倒翁小姐姐”不倒的原因在于其脚下的半球形工具.如图，半球内有一内接正四棱锥 $S - A B C D$ ，这个内接正四棱锥的高与半球的半径相等且体积为 $\frac{16}{3}$ ，那么这个半球的表面积为（）

A、 $8 π$ B、 $12 π$ C、 $\frac{16 π}{3}$ D、 $16 π$

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8. 已知边长为2的菱形 $A B C D$ 中，点 $F$ 为 $B D$ 上一动点，点 $E$ 满足 $\vec{B E} = 3 \vec{E C}$ ， $\vec{A E} \cdot \vec{B D} = - \frac{1}{2}$ ，则 $\vec{A F} \cdot \vec{B E}$ 的最大值为（）

A、0 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、3

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 设 $m$ ， $n$ 为不同的直线， $α$ ， $β$ 为不同的平面，则下列结论中正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m / / n$ C、若 $m / / α$ ， $m \subset β$ ，则 $α / / β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$

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10. 蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口 $A B C D E F$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{F B} - \vec{F D} = \vec{A B}$ B、 $\vec{A D} \cdot \vec{A F} = {|\vec{A F}|}^{2}$ C、 $\vec{A D}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量为 $\vec{A B}$ D、 $\vec{A C} + \vec{A E} = \frac{3}{2} \vec{A D}$

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11. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为棱 $A_{1} D_{1}, A A_{1}$ 的中点，G为线段 $B_{1} C$ 上一个动点，则（）

A、存在点G，使直线 $B_{1} C ⊥$ 平面 $E F G$ B、存在点G，使平面 $E F G$ ∥平面 $B D C_{1}$ C、三棱锥 $A_{1} - E F G$ 的体积为定值 D、平面 $E F G$ 截正方体所得截面的最大面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 1 + 3 i$ ，则 $| z | =$ .

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13. 相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度AB，一研究小组选取了与该楼底部 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ，现测得 $∠ B C D = 30^{°}, ∠ C D B = 45^{°}$ ， $B D = 13 m$ ，在 $C$ 点处测得该楼顶端 $A$ 的仰角为 $60^{°}$ ，则该楼的高度AB为m.

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14. 如图，在棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 在线段 $B C$ 上，且 $C M = \frac{1}{3} B C, N$ 是侧面 $C D D_{1} C_{1}$ 上一点，且 $M N$ $∥$ 平面 $A_{1} B D$ ，则线段 $M N$ 的最大值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知 $| \vec{a} | = 4$ ， $| \vec{b} | = 8$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是 $120 °$ .

(1)、计算 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ ；

(2)、当k为何值时， $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (k \vec{a} - \vec{b})$ ?

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16. 锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $c o s A = \frac{2 \sqrt{3}}{3} s i n C s i n (B - \frac{π}{6})$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{3}, A B$ 边上的中线长为 $\sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ .

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17. 如图，已知等腰梯形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} B C = 2$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点， $A E \cap B D = M$ ，将 $△ B A E$ 沿着 $A E$ 翻折成 $△ B_{1} A E$ ，使平面 $B_{1} A E ⊥$ 平面 $A E C D$ .

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $B_{1} D M$ ；

(2)、求 $B_{1} E$ 与平面 $B_{1} M D$ 所成的角.

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18. 已知 ${\vec{a}}_{1} ， {\vec{a}}_{2}$ 是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点 $O$ 作 $\vec{O A_{1}} = \vec{a_{1}}$ ， $\vec{O A_{2}} = \vec{a_{2}}$ ，以 $O$ 为原点，分别以射线 $O A_{1} 、 O A_{2}$ 为 $x 、 y$ 轴的正半轴，建立平面坐标系，如左图．我们把这个由基底 $\vec{a_{1}} ， \vec{a_{2}}$ 确定的坐标系 $x O y$ 称为基底 $\{\vec{a_{1}} ， \vec{a_{2}}\}$ 坐标系 $x O y$ ．当向量 $\vec{a_{1}} ， \vec{a_{2}}$ 不垂直时，坐标系 $x O y$ 就是平面斜坐标系，简记为 $\{O; \vec{a_{1}} ， \vec{a_{2}}\}$ ．对平面内任一点 $P$ ，连结 $O P$ ，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对 $(x ， y)$ ，使得 $\vec{O P} = x \vec{a_{1}} + y \vec{a_{2}}$ ，则称实数对 $(x ， y)$ 为点 $P$ 在斜坐标系 $\{O ； \vec{a_{1}} ， \vec{a_{2}}\}$ 中的坐标．
今有斜坐标系 $\{O ； \vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}\}$ （长度单位为米，如右图），且 $|\vec{e_{1}}| = |\vec{e_{2}}| = 1 ， ⟨\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}⟩ = 120 °$ ，设 $\vec{O P} = (1 ， 2)$

(1)、计算 $|\vec{O P}|$ 的大小；

(2)、质点甲在 $O x$ 上距 $O$ 点4米的点 $A$ 处，质点乙在 $O y$ 上距 $O$ 点1米的点 $B$ 处，现在甲沿 $\vec{x O}$ 的方向，乙沿 $\vec{O y}$ 的方向同时以3米/小时的速度移动．
①若过2小时后质点甲到达 $C$ 点，质点乙到达 $D$ 点，请用 $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ ，表示 $\vec{C D}$ ；
②若 $t$ 时刻，质点甲到达 $M$ 点，质点乙到达 $N$ 点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离．

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19. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H为PC的中点，M为AH的中点， $P A = A C = 2, B C = 1$ .

(1)、求证： $A H ⊥ B C$ ；

(2)、求点C到平面ABH的距离；

(3)、在线段PB上是否存在点N，使MN $/ /$ 平面ABC？若存在，求出 $\frac{|P N|}{|P B|}$ 的值，若不存在，请说明理由.

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