广东省江门市新会第一中学2024届高三下学期高考热身考试数学试题

试卷更新日期：2024-06-09 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若 $A = \{x \in Z |\frac{x - 2}{8 - x} \leq 0\}$ ， $B = \{x |\log_{5} x < 1\}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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2. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，长轴长为4，则该椭圆的短轴长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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3. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = - 21$ ， $S_{7} = S_{15}$ ，则 $S_{n}$ 的最小值为（）

A、 $- 99$ B、 $- 100$ C、 $- 110$ D、 $- 121$

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4. 八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形 $A B C D E F G H$ ，其中 $|\overset{⃑}{O A}| = 1$ 给出下列结论，其中正确的结论为（）

A、 $\overset{⃑}{O A}$ 与 $\overset{⃑}{O H}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ B、 $\overset{⃑}{O D} + \overset{⃑}{O F} = \overset{⃑}{O E}$ C、 $|\overset{⃑}{O A} - \overset{⃑}{O C}| = \frac{\sqrt{2}}{2} |\overset{⃑}{D H}|$ D、 $\overset{⃑}{O A}$ 在 $\overset{⃑}{O D}$ 上的投影向量为 $\frac{\sqrt{2}}{2} \overset{⃑}{e}$ （其中 $\overset{⃑}{e}$ 为与 $\overset{⃑}{O D}$ 同向的单位向量）

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5. 已知 $m \in N^{*}$ ， ${(1 + x)}^{2 m}$ 和 ${(1 + x)}^{2 m + 1}$ 的展开式中二项式系数的最大值分别为 $a$ 和 $b$ ，则（）

A、 $a < b$ B、 $a = b$ C、 $a > b$ D、 $a, b$ 的大小关系与 $m$ 有关

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6. 人工智能领域让贝叶斯公式： $P (A| B) = \frac{P (B| A) P (A)}{P (B)}$ 站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有 $98 %$ 的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有 $4 %$ 的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（）

A、 $0.1 %$ B、 $0.4 %$ C、 $2.4 %$ D、 $4 %$

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7. 如图，圆台的上、下底面半径分别为 $r_{1}$ ， $r_{2}$ ，且 $2 r_{1} + r_{2} = 12$ ，半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（）

A、 $36 π$ B、 $64 π$ C、 $72 π$ D、 $100 π$

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8. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} + sin x - x + 2$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数.若 $f ({log}_{\frac{1}{2}} t) + f (3) > 4$ ，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{8})$ B、 $(\frac{1}{8}, + \infty)$ C、 $(0, 8)$ D、 $(8, + \infty)$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知 $z_{1}, z_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的两个根，其中 $z_{1} = 1 + i$ ，则（）

A、 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ B、 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ C、 $p = - 2$ D、 $q = 2$

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10. 已知两个变量y与x对应关系如下表：
x
1
2
3
4
5
y
5
m
8
9
10.5
若y与x满足一元线性回归模型，且经验回归方程为 $\hat{y} = 1 ． 25 x + 4.25$ ，则（）

A、y与x正相关 B、 $m = 7$ C、样本数据y的第60百分位数为8 D、各组数据的残差和为0

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11. 已知函数 $f (x) = \cos (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ ，则（）

A、若 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后与 $f (x)$ 的图象重合，则 $ω$ 的最小值为1 B、若 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后得到函数 $y = \sin ω x$ 的图象，则 $ω$ 的最小值为5 C、若函数 $|f (x)|$ 的最小正周期为 $\frac{π}{4}$ ，则 $ω = 4$ D、当 $ω = 1$ 时，若 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则方程 $|g (x)| + \frac{1}{g (|x|)} = 1$ 有无穷多个解

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知函数 $f (x) = x^{\frac{1}{2}} + lg (x - 2)$ 的定义域为．

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13. 已知 $△ A B C$ 中， $a = 4, b = 2 c, cos A = - \frac{3}{4}$ ，则 $S_{△ A B C} =$ ．

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14. 已知曲线 $G : x |x| + y |y| = 4, O$ 为坐标原点．给出下列四个结论：
①曲线 $G$ 关于直线 $y = x$ 成轴对称图形；
②经过坐标原点 $O$ 的直线 $l$ 与曲线 $G$ 有且仅有一个公共点；
③直线 $l : x + y = 2$ 与曲线 $G$ 所围成的图形的面积为 $π - 2$ ；
④设直线 $l : y = k x + 2$ ，当 $k \in (- 1, 0)$ 时，直线 $l$ 与曲线 $G$ 恰有三个公共点．其中所有正确结论的序号是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 甲、乙两个不透明的袋中各装有6个大小质地完全相同的球，其中甲袋中有3个红球、3个黄球，乙袋中有1个红球、5个黄球．

(1)、若从两袋中各随机地取出1个球，求这2个球颜色相同的概率；

(2)、若先从甲袋中随机地取出2个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出2个球，记从乙袋中取出的红球个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望．

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16. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C, A B ⊥ A C, A B = A C, A A_{1} = A_{1} C$ .

(1)、若 $M, N$ 分别为 $A_{1} C_{1}, B B_{1}$ 的中点，证明： $M N / /$ 平面 $A_{1} B C$ ；

(2)、当直线 $A_{1} B$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$ 时，求平面 $A_{1} B C$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 夹角的余弦值.

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17. 设 $M$ 是由满足下列条件的函数 $f (x)$ 构成的集合：①方程 $f (x) - x = 0$ 有实根；② $f (x)$ 在定义域区间 $D$ 上可导，且 $f^{'} (x)$ 满足 $0 < f^{'} (x) < 1$ .

(1)、判断 $g (x) = \frac{x}{2} - \frac{ln x}{2} + 3$ ， $x \in (1, + \infty)$ 是否是集合 $M$ 中的元素，并说明理由；

(2)、设函数 $f (x)$ 为集合 $M$ 中的任意一个元素，证明：对其定义域区间 $D$ 中的任意 $α$ 、 $β$ ，都有 $|f (α) - f (β)| \leq |α - β|$ .

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18. 如图， $D$ 为圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 上一动点，过点 $D$ 分别作 $x$ 轴､ $y$ 轴的垂线，垂足分别为 $A, B$ ，点 $M$ 满足 $\vec{B A} = \vec{A M}$ ，点 $M$ 的轨迹记为曲线 $Ω$ .

(1)、求曲线 $Ω$ 的方程；

(2)、若过点 $K (- 2, 0)$ 的两条直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别交曲线 $Ω$ 于 $E, F$ 两点，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求证：直线 $E F$ 过定点；

(3)、若曲线 $Ω$ 交 $y$ 轴正半轴于点 $S$ ，直线 $x = x_{0}$ 与曲线 $Ω$ 交于不同的两点 $G, H$ ，直线 $S H, S G$ 分别交 $x$ 轴于 $Q, T$ 两点，试探究： $y$ 轴上是否存在点 $R$ ，使得 $∠ O R Q + ∠ O R T = \frac{π}{2}$ ？若存在，求出点 $R$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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19. 约数，又称因数．它的定义如下：若整数 $a$ 除以整数 $m (m \neq 0)$ 除得的商正好是整数而没有余数，我们就称 $a$ 为 $m$ 的倍数，称 $m$ 为 $a$ 的约数．设正整数 $a$ 共有 $k$ 个正约数，记为 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{k - 1}$ ， $a_{k}$ （ $a_{1} < a_{2} < \cdot \cdot \cdot < a_{k}$ ）．

(1)、当 $k = 4$ 时，若正整数 $a$ 的 $k$ 个正约数构成等比数列，请写出一个 $a$ 的值；

(2)、当 $k \geq 4$ 时，若 $a_{2} - a_{1}$ ， $a_{3} - a_{2}$ ， …， $a_{k} - a_{k - 1}$ 构成等比数列，求证： $a = a_{2}^{k - 1} (k \geq 4)$ ；

(3)、记 $A = a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + \dots + a_{k - 1} a_{k}$ ，求证： $A < a^{2}$ ．

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x	1	2	3	4	5
y	5	m	8	9	10.5