广东省江门市开平市忠源纪念中学2024届高三下学期高考冲刺考试（一）数学试卷

试卷更新日期：2024-06-03 类型：高考模拟

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1. 设集合 $M = \{x |\log_{2} x < 1\}$ ， $N = \{x |2 x - 1 < 0\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{x |x < 2\}$ B、 $\{x |x < \frac{1}{2}\}$ C、 $\{x |0 < x < 2\}$ D、 $\{x |0 < x < \frac{1}{2}\}$

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2. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 0)$ 的焦距为2，则该椭圆的离心率为( )

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 或 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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3. 已知各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{5} = 9$ ，则 $\log_{3} a_{4} + \log_{3} a_{6}$ ＝（）

A、3 B、4 C、8 D、9

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4. 已知函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的偶函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = {log}_{4} x - 1$ ，则 $f (- 2^{\frac{2}{3}}) =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 已知圆 $O_{1} : x^{2} + y^{2} = 5$ 与圆 $O_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y = 0$ 交于A，B两点，则 $| A B | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$

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6. 班主任从甲、乙、丙三位同学中安排四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有（）

A、60种 B、54种 C、48种 D、36种

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7. 已知 $s i n (α - \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $c o s (\frac{2 π}{3} - 2 α) =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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8. 已知函数 $f (x) = {log}_{2} \frac{x}{2} \cdot {log}_{2} \frac{x}{8}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ （其中 $x_{1} \neq x_{2}$ ．），则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{9}{x_{2}}$ 的最小值为（）．

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、4

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二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）

9. 已知i为虚数单位，下列说法正确的是( )

A、若复数 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ ，则 $z^{30} = - 1$ B、若 $| z_{1} | > | z_{2} |$ ，则 $z_{1}^{2} > z_{2}^{2}$ C、若 $z_{2} \neq 0$ ，则 $| \frac{z_{1}}{z_{2}} | = \frac{| z_{1} |}{| z_{2} |}$ D、复数z在复平面内对应的点为Z，若 $| z + i | + | z - i | = 2$ ，则点Z的轨迹是一个椭圆

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10. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ （其中 $A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6})$ B、函数 $y = f (x)$ 在区间 $(k π - \frac{π}{3}, k π + \frac{π}{6}) (k \in Z)$ 上单调递增 C、要想得到 $y = 2 cos 2 x$ 的图象，只需将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 D、函数 $y = f (x)$ 在区间 $[\frac{7 π}{12},π]$ 上的取值范围是 $[- 2, 1]$

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R ，满足 $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)$ ，且 $f (1) = - 1$ ，则（）

A、 $f (0) = 1$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、 $f (1) + f (2) + \dots + f (2024) = 0$ D、 ${[f (x)]}^{2} + {[f (x + \frac{1}{2})]}^{2} = 1$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位数为

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13. $(x - y) (x + y)^{6}$ 的展开式中 $x^{3} y^{4}$ 的系数为（用数字作答）.

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14. 已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 A_{1} B_{1} = 4$ ，若该四棱台的体积为 $\frac{28 \sqrt{3}}{3}$ ，则这个四棱台的表面积为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{a}{2} x^{2} + (a - 1) x + 1$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线与直线 $6 x + y + 1 = 0$ 平行，求出这条切线的方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性.

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16. 某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有 $X$ 个红球，则分得 $X$ 个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.

(1)、求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；

(2)、求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.

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17. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $D$ 是 $C C_{1}$ 的中点， $A C = B C, A A_{1} = A B$ .

(1)、证明： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(2)、若 $B C ⊥ A C, A B = 2$ ，求平面 $A_{1} B D$ 与平面 $A B D$ 的夹角的余弦值.

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18. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的焦点与椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ 的焦点重合，其渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若 $A, B$ 为双曲线 $C$ 上的两点且不关于原点对称，直线 $l : y = \frac{1}{3} x$ 过 $A B$ 的中点，求直线 $A B$ 的斜率.

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19. 已知 ${a_{n}}$ 是各项均为正整数的无穷递增数列，对于 $k \in N^{*}$ ，定义集合 $B_{k} = {i \in N^{*} | a_{i} < k}$ ，设 $b_{k}$ 为集合 $B_{k}$ 中的元素个数，若 $B_{k} = \emptyset$ 时，规定 $b_{k} = 0$ .

(1)、若 $a_{n} = 2^{n}$ ，写出 $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ 及 $b_{10}$ 的值；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、设集合 $S = {s | s = n + a_{n}, n \in N^{*}}, T = {t | t = n + b_{n}, n \in N^{*}}$ ，求证： $S \cup T = N^{*}$ 且 $S \cap T = \emptyset$ .

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