广东省韶关市乐昌市第二中学2024届高三下学期保温测试（5月模拟）数学试题

试卷更新日期：2024-06-12 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知幂函数的图象过点 $(2, 4)$ ，则函数的解析式为（）

A、 $y = 2^{x}$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = {log}_{2} x$ D、 $y = sin x$

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2. 已知 $a, b \in R$ ，则“ $a > b$ ”是“ $a^{3} > b^{3}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知 ${(x + a)}^{5} = p_{5} x^{5} + p_{4} x^{4} + p_{3} x^{3} + p_{2} x^{2} + p_{1} x + p_{0}$ ，若 $p_{4} = 15$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 已知 $a = l o g_{2} 1.41 ， b = 1 . 7^{0.3} ， c = c o s \frac{7 π}{3}$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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5. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 各项均为正数，首项 $a_{1} = 3$ ，且数列 $\{{log}_{3} a_{n}\}$ 是以 $- 2$ 为公差的等差数列，则 $a_{3} =$ （）

A、 $\frac{1}{27}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、1 D、9

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6. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的侧面积为（）

A、 $6 π$ B、 $16 π$ C、 $26 π$ D、 $32 π$

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7. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数， $f (5.5) = 4$ ， $g (x) = (x - 1) f (x)$ ，若 $g (x + 1)$ 是偶函数，则 $g (- 0.5) =$ （）

A、 $- 6$ B、 $- 4$ C、4 D、6

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8. 已知 $F$ 为抛物线 $E : y^{2} = 4 x$ 的焦点， $△ A B C$ 的三个顶点都在 $E$ 上， $P$ 为 $A B$ 的中点，且 $\vec{C F} = 2 \vec{F P}$ ，则 $|F A| + |F B|$ 的最大值为（）

A、4 B、5 C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知向量 $\overset{⃑}{a} = (3, - 1)$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, - 2)$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} = 5$ B、 $|\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}| = \sqrt{5}$ C、 $⟨\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}⟩ = \frac{π}{4}$ D、 $\overset{⃑}{a} ∥ \overset{⃑}{b}$

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10. 同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件 $A$ ， “乙正面向上”为事件 $B$ ， “甲、乙至少一枚正面向上”为事件 $C$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $A$ 与 $B$ 相互独立 B、 $A$ 与 $B$ 互斥 C、 $P (B |C) = \frac{2}{3}$ D、 $P (C) = \frac{1}{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象如图中实线所示，图中圆 $C$ 与 $f (x)$ 的图象交于 $M, N$ 两点，且 $M$ 在 $y$ 轴上，则下列命题正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、函数 $f (x)$ 在 $(- \frac{7 π}{12}, - \frac{π}{3})$ 上单调递减 C、函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位后关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 D、若圆 $C$ 的半径为 $\frac{5 π}{12}$ ，则 $f (x) = \frac{\sqrt{3} π}{6} sin (2 x + \frac{π}{3})$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 设 $m \in R, i$ 为虚数单位．若集合 $A = \{1, 2 m + (m - 1) i\}$ ， $B = \{0, 1, 2\}$ ，且 $A \subseteq B$ ，则 $m =$ ．

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13. 已知 $x$ 轴为函数 $f (x) = x^{3} + a x + \frac{1}{4}$ 的图像的一条切线，则实数 $a$ 的值为.

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14. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} - 8 x + 15 = 0$ ，若直线 $y = k x - 2$ 上至少存在一点，使得以该点为圆心，3为半径的圆与圆 $C$ 有公共点，则 $k$ 的最小值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．分别以 $a, b, c$ 为边长的正三角形的面积依次为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，且 $S_{1} - S_{2} - S_{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} b c$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $\vec{B D} = 4 \vec{C D}$ ， $∠ C A D = \frac{π}{6}$ ，求 $sin ∠ A C B$ ．

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形ABCD 为直角梯形，AB∥CD， $∠ D A B = ∠ P C B = 60 °, C D = 1, A B = 3, P C = 2 \sqrt{3}$ ，平面 $P C B ⊥$ 平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点.

(1)、证明： $P F ⊥ A D$ ；

(2)、当EF为何值时，直线BE 与平面PAD夹角的正弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ .

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17. 某市2017年至2023年城镇居民人均可支配收入如下表，将其绘制成散点图（如下图），发现城镇居民人均可支配收入y（单位：万元）与年份代号x具有线性相关关系．
年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
年份代号 $x$
1
2
3
4
5
6
7
人均可支配收入 $y$
3.65
3.89
4.08
4.30
4.65
4.90
5.12

(1)、求y关于x的线性回归方程 $\hat{y} = b x + \hat{a}$ ，并根据所求回归方程，预测2024年该市城镇居民人均可支配收入；

(2)、某分析员从2017年至2023年人均可支配收入中，任取3年的数据进行分析，记其中人均可支配收入超过4.5万的年份个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
参考数据及公式： $\sum_{i = 1}^{7} y_{i} = 30.59$ ， $\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} = 129.36$ ， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F (- \sqrt{2}, 0)$ ，过点 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相切，与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 3 a^{2}$ 相交于 $A, B$ 两点，设 $P$ 为圆 $O$ 上任意一点，求 $△ P A B$ 的面积最大时直线 $l$ 的斜率．

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x + 1} + a x + a (a \in R)$ ．
（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（2）当 $x \geq 0$ 时， $f (x - 1) + \ln (x + 1) \geq 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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年份	2017	2018	2019	2020	2021	2022	2023
年份代号 $x$	1	2	3	4	5	6	7
人均可支配收入 $y$	3.65	3.89	4.08	4.30	4.65	4.90	5.12