广东省深圳市盐田高级中学2023-2024学年高一下期末复习数学模拟卷6

试卷更新日期：2024-07-05 类型：期末考试

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一、单选题（每题5分，共40分）

1. 设 $z = 5 + i$ ，则 $i (\bar{z} + z) =$ （）

A、 $10 i$ B、 $2 i$ C、10 D、 $- 2$

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2. 集合 $A = {1, 2, 3, 4, 5, 9}, B = {x | \sqrt{x} \in A}$ ，则 $C_{A}^{} (A ∩ B)$ （）

A、 ${1, 4, 9}$ B、 ${3, 4, 9}$ C、 ${1, 2, 3}$ D、 ${2, 3, 5}$

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3. 函数 $f (x) = - x^{2} + (e^{x} - e^{- x}) s i n x$ 在区间 $[- 2.8, 2.8]$ 的大致图像为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知 $\frac{c o s α}{c o s α - s i n α} = \sqrt{3}$ ，则 $t a n (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $2 \sqrt{3} + 1$ B、 $2 \sqrt{3} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $1 - \sqrt{3}$

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5. 如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S ，则梯形OABC的面积为（）

A、2S B、S C、2S D、S

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6. 若非零向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 满足 $(\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) \cdot \vec{B C} = 0, \frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} \cdot \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、三边均不相等的三角形 B、直角三角形 C、底边和腰不相等的等腰三角形 D、等边三角形

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7. 在△ABC中，内角A ， B ， C所对边分别为a ， b ， c ，若 $B = \frac{π}{3} ， b^{2} = \frac{9}{4} a c$ ，则sinA+sinC＝（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且与BC相交于点D ，则向量 $\vec{B D}$ 在 $\vec{B A}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{3}{2} \vec{B A}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{B A}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{B A}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B A}$

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二、多选题（每题6分，共18分）

9. 已知函数 $f (x) = c o s (2 x + \frac{π}{6})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于 $(- \frac{π}{12}, 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{5 π}{12}$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递减

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10. 将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A=“第一次出现奇数点”，事件B=“两次点数之积为偶数”，事件C=“两次点数之和为5”，则（）

A、事件 $A \cup B$ 是必然事件 B、事件A与事件B是互斥事件 C、事件B包含事件C D、事件A与事件C是相互独立事件

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11. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，且 $A B = B C = C C_{1} = 2 ， M$ 为线段 $B C$ 上的动点，则（）

A、 $A B_{1} ⊥ A_{1} M$ B、三棱锥 $C_{1} - A M B_{1}$ 的体积不变 C、 $| A_{1} M | + | C_{1} M |$ 的最小值为 $3 + \sqrt{5}$ D、当 $M$ 是 $B C$ 的中点时，过 $A_{1} ， M ， C_{1}$ 三点的平面截三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接球所得的截面面积为 $\frac{26 π}{9}$

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三、填空题（每题5分，共15分）

12. ①根据 $1 = 1^{2}, 1 + 3 = 2^{2}, 1 + 3 + 5 = 3^{2}, 1 + 3 + 5 + 7 = 4^{2}, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5^{2}, \dots$ .写出含有量词的全称量词命题的等式为；
②命题 $\forall n \in Z, n \in Q$ 的否定为.

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13. $l g 2 + l g 5 - π^{0} =$ .

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14. 母线长为的圆锥，其侧面展开图是圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的体积为.

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四、解答题

15. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且2ccosA=acosB+bcosA.

(1)、求角A；

(2)、若△ABC的周长为 $3 \sqrt{3}$ ，且△ABC外接圆的半径为1，判断△ABC的形状，并求△ABC的面积.

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16. 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD ， E为PD的中点．

(1)、证明：PB∥平面AEC；

(2)、设AP＝1，AD＝ $\sqrt{3}$ ，三棱锥PABD的体积V＝ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求A到平面PBC的距离．

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17. 某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，所得产品的质量差（质量差=生产的产品质量-标准质量，单位：mg）的样本数据统计如图所示

(1)、估计样本数据的80%分位数.

(2)、公司从生产的正品中按产品的质量差进行分拣，若质量差 $(\bar{x} - s, \bar{x} + s)$ 内的产品为一等品，其余为二等品，其中 $\bar{x} ， s$ 分别估计为样本平均数和样本标准差，计算可得 $s \approx 10$ （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
①若产品的质量差为78mg，试判断该产品是否为一等品；
②假如公司包装时要求3件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中随机摸出2件产品进行检验，求摸出的2件产品中至少有1件一等品的概率.

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18. 已知函数 $f (x) = 2 c o s^{2} x - 2 \sqrt{3} s i n (x + \frac{π}{3}) c o s (x + \frac{π}{3}), x \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若函数 $h (x) = f (π - x)$ ，求函数 $h (x)$ 的单调递减区间；

(3)、若函数 $f (x) + k - 1 = 0$ 在区间 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ 上有两个不等实根，求实数 $k$ 的取值范围.

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19. 设 $a$ 为实数，函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上的最大值；

(2)、设函数 $g (x) = | f (x) | ， t (a)$ 为 $g (x)$ 在区间 $[0 ， 2]$ 上的最大值，求 $t (a)$ 的解析式；

(3)、求 $t (a)$ 的最小值.

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