黑龙江省龙东地区2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-07-05 类型：中考真卷

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一、选择题（每小题3分，共30分）

1. 下列计算正确的是（）

A、a³•a²＝a⁶ B、（a²）⁵＝a⁷ C、（﹣2a³b）³＝﹣8a⁹b³ D、（﹣a+b）（a+b）＝a²﹣b²

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2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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4. 一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为（）

A、1 B、0.8 C、0.6 D、0.5

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5. 关于x的一元二次方程（m﹣2）x²+4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）

A、m≤4 B、m≥4 C、m≥﹣4且m≠2 D、m≤4且m≠2

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6. 已知关于x的分式方程 $\frac{k x}{x - 3} -$ 2 $= \frac{3}{3 - x}$ 无解，则k的值为（）

A、k＝2或k＝﹣1 B、k＝﹣2 C、k＝2或k＝1 D、k＝﹣1

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7. 国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）．其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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8. 如图，双曲线y $= \frac{12}{x}$ （x＞0）经过A、B两点，连接OA、AB ，过点B作BD⊥y轴，垂足为D ， BD交OA于点E ，且E为AO的中点，则△AEB的面积是（）

A、4.5 B、3.5 C、3 D、2.5

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9. 如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC ，垂足为M ， AM交BD于点N ， OM＝2，BD＝8，则MN的长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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10. 如图，在正方形ABCD中，点H在AD边上（不与点A、D重合），∠BHF＝90°，HF交正方形外角的平分线DF于点F ，连接AC交BH于点M ，连接BF交AC于点G ，交CD于点N ，连接BD ．则下列结论：
①∠HBF＝45°；②点G是BF的中点；③若点H是AD的中点，则sin∠NBC $= \frac{\sqrt{10}}{10}$ ；④BN $= \sqrt{2}$ BM；⑤若AH $= \frac{1}{2}$ HD ，则S_△_BND $= \frac{11}{2}$ S_△_AHM ．其中正确的结论是（）

A、①②③④ B、①③⑤ C、①②④⑤ D、①②③④⑤

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二、填空题（每小题3分，共30分）

11. 国家统计局公布数据显示，2023年我国粮食总产量是13908亿斤，将13908亿用科学记数法表示为．

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12. 在函数y $= \frac{\sqrt{x - 3}}{x + 2}$ 中，自变量x的取值范围是．

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13. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC ， BD相交于点O ，请添加一个条件，使得菱形ABCD为正方形．

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14. 七年一班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛，恰好选择1名男生和1名女生的概率是．

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15. 关于x的不等式组 $\{\begin{array}{l} 4 - 2 x \geq 0 \\ \frac{1}{2} x - a ＞ 0 \end{array}$ 恰有3个整数解，则a的取值范围是．

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16. 如图，△ABC内接于⊙O ， AD是直径，若∠B＝25°，则∠CAD＝°．

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17. 若圆锥的底面半径为3，侧面积为36π，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是°．

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18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC $= \frac{1}{2}$ ， BC＝2，AD＝1，线段AD绕点A旋转，点P为CD的中点，则BP的最大值是．

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19. 矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将AB沿过点A的一条直线折叠，折痕交直线BC于点P（点P不与点B重合），点B的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则PC长为．

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20. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为（3，0），△OAB是等边三角形，点B坐标是（1，0），△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为O→M→N→P→O→M（→…）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A₁ ， A₁的坐标是（2，0）；第二次滚动后，A₁的对应点记为A₂ ， A₂的坐标是（2，0）；第三次滚动后，A₂的对应点记为A₃ ， A₃的坐标是（3 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ）；如此下去，……，则A₂₀₂₄的坐标是．

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三、解答题（满分60分）

21. 先化简，再求值： $\frac{m^{2} - 2 m + 1}{m^{2} - 1} \div$ （ $\frac{m^{2}}{m^{2} + m} -$ 1），其中m＝cos60°．

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22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣5，2）．
⑴画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁ ，并写出点B₁的坐标；
⑵画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB₂C₂ ，并写出点B₂的坐标；
⑶在（2）的条件下，求点B旋转到点B₂的过程中所经过的路径长（结果保留π）．

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23. 如图，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C ，其中B（1，0），C（0，3）．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在第二象限的抛物线上是否存在一点P ，使得△APC的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由．

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24. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各一小时体育活动时间”的要求，某学校要求学生每天坚持体育锻炼．学校从全体男生中随机抽取了部分学生，调查他们的立定跳远成绩，整理如下不完整的频数分布表和统计图，结合图解答下列问题：
组别
分组（cm）
频数
A
50＜x≤100
3
B
100＜x≤150
m
C
150＜x≤200
20
D
200＜x≤250
14
E
250＜x≤300
5

(1)、频数分布表中m＝，扇形统计图中n＝；

(2)、本次调查立定跳远成绩的中位数落在组别；

(3)、该校有600名男生，若立定跳远成绩大于200cm为合格，请估计该校立定跳远成绩合格的男生有多少人？

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25. 甲、乙两货车分别从相距225km的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：

(1)、甲货车到达配货站之前的速度是km/h ，乙货车的速度是km/h；

(2)、求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数解析式；

(3)、直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．

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26. 已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC ， ∠MAN $= \frac{1}{2}$ ∠BAC ， ∠MAN在∠BAC的内部，点M、N在BC上，点M在点N的左侧，探究线段BM、NC、MN之间的数量关系．

（1）如图①，当∠BAC＝90°时，探究如下：
由∠BAC＝90°，AB＝AC可知，将△ACN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABP ，则CN＝BP且∠PBM＝90°，连接PM ，易证△AMP≌△AMN ，可得MP＝MN ，在Rt△PBM中，BM²+BP²＝MP² ，则有BM²+NC²＝MN² ．
（2）当∠BAC＝60°时，如图②：当∠BAC＝120°时，如图③，分别写出线段BM、NC、MN之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．

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27. 为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元．

(1)、购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？

(2)、若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？

(3)、若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？

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28. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边OB在x轴上，点A在第一象限，OA的长度是一元二次方程x²﹣5x﹣6＝0的根，动点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿折线OA﹣AB运动，动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线OB﹣BA运动，P、Q两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t秒（0＜t＜3.6），△OPQ的面积为S ．

(1)、求点A的坐标；

(2)、求S与t的函数关系式；

(3)、在（2）的条件下，当S＝6 $\sqrt{3}$ 时，点M在y轴上，坐标平面内是否存在点N ，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．

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组别	分组（cm）	频数
A	50＜x≤100	3
B	100＜x≤150	m
C	150＜x≤200	20
D	200＜x≤250	14
E	250＜x≤300	5