四川省眉山市东坡区两校2023-2024学年高一下学期6月期末联考数学试题

试卷更新日期：2024-07-05 类型：期末考试

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）

1. $\vec{O A} + \vec{B C} - \vec{B A} =$ （）

A、 $\vec{O B}$ B、 $\vec{C O}$ C、 $\vec{A C}$ D、 $\vec{O C}$

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2. 平面向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, x)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x$ 等于（）

A、 $4$ B、 $2$ C、 $- 1$ D、 $- 4$

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3. sin $\frac{4 π}{3}$ ·cos $\frac{5 π}{6}$ ·tan（- $\frac{4 π}{3}$ ）的值是( )

A、 $- \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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4. 已知复数z＝ $\frac{3 + i}{1 + i}$ (i是虚数单位)，则在复平面内所对应的点所在象限为( )

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5. 在 $△ A B C$ 中，若 $a c o s B = c$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形

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6. 关于函数 $f (x) = | \tan x |$ 的性质，下列叙述不正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{k π}{2} (k \in Z)$ 对称 D、 $f (x)$ 在每一个区间 $(k π ， k π + \frac{π}{2}) ， k \in Z$ 内单调递增

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7. 已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A B}$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2 ， 6)$ B、 $(- 6 ， 2)$ C、 $(- 2 ， 4)$ D、 $(- 4 ， 6)$

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8. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3})$ ，( $ω > 0$ )在区间 $[- \frac{2 π}{3} ， \frac{5 π}{6}]$ 上是增函数，且在区间 $[0 ， π]$ 上恰好取得一次最大值1，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{5}]$ B、 $[\frac{1}{2} ， \frac{3}{5}]$ C、 $[\frac{1}{6} ， \frac{1}{5}]$ D、 $[\frac{1}{2} ， \frac{5}{2})$

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二、多选题：本大题共有3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若有3个正确选项，每选对一个得2分)

9. 下列说法中正确的是（）

A、若 $| \vec{a} | = 0$ ，则 $\vec{a} = \vec{0}$ B、 $\vec{A B} + \vec{B A} = \vec{0}$ C、若 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 为单位向量，则 $\vec{e_{1}} = \vec{e_{2}}$ D、 $\frac{\vec{a}}{| \vec{a} |}$ 是与非零向量 $\vec{a}$ 共线的单位向量

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10. 在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（）

A、 $b = 7, c = 3 ， C = \frac{π}{6}$ B、 $b = 5 ， c = 6 ， C = \frac{π}{4}$ C、 $a = 6 ， b = 3 \sqrt{3} ， B = \frac{π}{3}$ D、 $a = 20 ， b = 15 ， B = \frac{π}{6}$

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11. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{12}, 0)$ 对称 B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{5 π}{12}$ 对称 C、函数 $y = f (x)$ 在 $[- \frac{2 π}{3}, - \frac{π}{6}]$ 单调递减 D、该图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位可得 $y = 2 s i n 3 x$ 的图象

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题纸上．

12. 将函数y＝ $\sqrt{2}$ cos(2x+ $\frac{π}{3}$ )的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为.

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13. 设向量 $\vec{a}$ ＝(2，3)， $\vec{b}$ ＝(6，t)，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，则实数t的取值范围为.

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14. 为加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G基站A ， B ， C ， D.已知C ， D两个基站建在松花江的南岸，距离为 $10 \sqrt{3}$ km；基站A ， B在江的北岸，测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A ， B两个基站的距离为.

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四、解答题：15题13分，16/17题15分/题，18/19题17/题分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知向量 $\vec{a} = (3, - 4)$ ， $\vec{b} = (5, 2)$ .

(1)、若 $(\vec{a} - 3 \vec{b}) / / (k \vec{a} + \vec{b})$ ，求实数 $k$ 的值；

(2)、若 $(\vec{a} - m \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，求实数 $m$ 的值.

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16. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n x c o s x + c o s^{2} x - s i n^{2} x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递减区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值．

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17. 已知 $\frac{s i n α + c o s α}{s i n α - c o s α} = 3 ， α \in (0 ， \frac{π}{2})$ .

(1)、求 $t a n α$ 的值；

(2)、若 $s i n (α - β) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，且 $β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，求角 $β$ .

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18. 在① $c o s^{2} A + s i n B^{2} + s i n^{2} C = 1 + s i n B s i n C$ ；
② $2 c c o s A = a c o s B + b c o s A$ ；③ $a s i n C = c c o s (A - \frac{π}{6})$ 这三个条件中任选一个，解答下面两个问题．

(1)、求角A；

(2)、在△ABC中，内角A ， B ， C的对边分别是a ， b ， $c (b < c)$ ，若已知 $a = 2 \sqrt{7}$ ， $S_{△ A B C} = 3 \sqrt{3}$ ，求 $b, c$ 的值．

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19. 如图，一块铁皮的形状为半圆和长方形组成，长方形的边 $A D$ 为半圆的直径， $O$ 为半圆的圆心， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形 $P M N$ ，其底边 $M N ⊥ B C$ .

(1)、设 $∠ M O D = 30 °$ ，求三角形铁皮 $P M N$ 的面积；

(2)、求剪下的铁皮三角形 $P M N$ 面积的最大值.

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