湖北省武汉市常青联合体2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

试卷更新日期：2024-07-05 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知 $i$ 是虚数单位， $i \cdot z = 2 + i$ ，则复数 $z$ 的模为( )

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $5$ D、 $3$

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2. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ， $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ ( )

A、 $2$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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3. 在一次数学测试中，高一某班 $40$ 名学生成绩的平均分为 $82$ ，方差为 $10.2$ ，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是( )

A、 $100$ B、 $85$ C、 $65$ D、 $55$

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4. $α$ ， $β$ 为两个不同的平面， $m$ ， $n$ 为两条不同的直线，下列说法中正确的个数是( )
$①$ 若 $α / / β$ ， $m \subset α$ ，则 $m / / β$
$②$ 若 $m / / α$ ， $n \subset α$ ，则 $m / / n$
$③$ 若 $m ⊥ α$ ， $m / / n$ ，则 $n ⊥ α$
$④$ 若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = n$ ， $m ⊥ n$ ，则 $m ⊥ β$

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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5. 已知棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 、 $Q$ 分别为 $C D$ 和 $A D$ 的中点，则 $P Q$ 到平面 $A_{1} C_{1} B$ 的距离为( )

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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6. 已知在 $△ A B C$ 中，满足 $c t a n B = (2 a - c) t a n C$ ，点 $D$ 在 $A C$ 边上，且 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ ，则 $B D$ 的最大值为( )

A、 $3$ B、 $1$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $4$

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7. 已知 $O$ 为三角形 $A B C$ 内一点，且满足 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = \vec{O C} \cdot \vec{O A}$ 和 $\vec{B O} = 2 \vec{O A} + 3 \vec{O C}$ ，则角 $B$ 为( )

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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8. 在正三棱锥 $A - B C D$ 中， $M$ 、 $N$ 分别为 $A C$ 、 $B C$ 的中点， $P$ 为棱 $C D$ 上的一点，且 $P C = 2 P D$ ， $M N ⊥ M P$ ，若 $B D = \sqrt{6}$ ，则此正三棱锥 $A - B C D$ 的外接球的表面积为( )

A、 $3 π$ B、 $6 π$ C、 $8 π$ D、 $9 π$

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二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 已知 $i$ 为虚数单位，以下说法正确的是( )

A、复数 $z = (1 + i)^{2}$ 在复平面对应的点在第一象限 B、若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1} = z_{2}$ C、若 $z = a^{2} + a - 2 + (a^{2} - 3 a + 2) i$ 为纯虚数，则实数 $a = - 2$ D、复数 $z$ 满足 $i^{2024} (2 + z) = 2 - i$ ，则 $\bar{z} = i$

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10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，下列说法正确的是( )

A、若 $\frac{a}{c o s B} = \frac{b}{c o s A}$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 B、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $s i n A > c o s B$ C、若 $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ B = 45^{\circ}$ ， $A C = 3$ ，则满足条件的三角形有 $2$ 个 D、若 $△ A B C$ 不是直角三角形，则 $t a n A + t a n B + t a n C = t a n A t a n B t a n C$

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11. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A B$ ， $C C_{1}$ 的中点，且 $M N$ 与正方体的内切球 $O (O$ 为球心 $)$ 交于 $E$ ， $F$ 两点，则下列说法正确的是( )

A、线段 $E F$ 的长为 $\sqrt{2}$ B、三棱锥 $O - D E F$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、过 $O$ ， $M$ ， $N$ 三点的平面截正方体 $A C_{1}$ 所得的截面面积为 $2 \sqrt{3}$ D、设 $P$ 为球 $O$ 上任意一点，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的范围为 $[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 某歌手在一次比赛中评委给分为 $6$ 、 $6$ 、 $5$ 、 $7$ 、 $7$ 、 $8$ 、 $9$ 、 $10 ($ 十分制 $)$ 则该歌手得分的第七十五百分位数是.

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13. 如图所示， $B$ 是 $A C$ 的中点， $\vec{B E} = 2 \vec{O B}$ ， $P$ 是平行四边形 $B C D E$ 内 $($ 含边界 $)$ 的一点，且 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B} (x$ 、 $y \in R)$ ，则当 $y = 2$ 时， $x$ 的范围是。

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14. 已知在三角形 $A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $a = \sqrt{3}$ ，角 $A$ 为锐角，向量 $\vec{p} = (2 s i n A, - \sqrt{3})$ 与 $\vec{q} = (c o s 2 A, c o s A)$ 共线，且 $s i n B + s i n C = 2 \sqrt{6} s i n B s i n C$ ，则三角形 $A B C$ 的周长为．

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四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 已知向量 $\vec{a} = (3,2)$ ， $\vec{b} = (2, - 1)$

(1)、若 $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 3 \vec{b}$ 垂直，求 $k$ 的值 $;$

(2)、若 $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 3 \vec{b}$ 共线，求 $| 3 k \vec{a} + \vec{b} |$ 的值。

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B / / D C$ ， $A D = D C = A P = 2$ ， $A B = 1$ ，点 $E$ 为棱 $P C$ 的中点．

(1)、证明： $B E / /$ 平面 $P A D;$

(2)、求直线 $A P$ 与平面 $A B E$ 所成角的大小．

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17. 已知在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a c o s (B - C) - a c o s (B + C) = 2 \sqrt{3} c s i n B c o s A$

(1)、求 $A;$

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围．

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18. 随着社会的进步、科技的发展，人民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到每一位市民的关注，因此， $2019$ 年 $6$ 月 $25$ 日，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存、分类投放，方便工作人员依分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用 $.$ 某市环卫局在 $A$ 、 $B$ 两个小区分别随机抽取 $6$ 户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周 $(7$ 天 $)$ 进行生活垃圾分类占用时间统计如下表：
住户编号
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
$6$
$A$ 小区 $($ 分钟 $)$
$220$
$185$
$220$
$225$
$205$
$235$
$B$ 小区 $($ 分钟 $)$
$205$
$195$
$245$
$235$
$225$
$215$

(1)、分别计算 $A$ 、 $B$ 小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差 $;$ 以及 $A$ 、 $B$ 两个小区抽取的一共 $12$ 户每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差 $;$

(2)、如果两个小区住户均按照 $1000$ 户计算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案：
$① A$ 小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每 $200$ 位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照 $3000$ 元 $($ 按照 $28$ 天计算标准 $)$ 计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少 $?$
$② B$ 小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效果相当于 $5$ 位普通居民对生活垃圾分类效果，每位专职工作人员 $($ 每天工作 $8$ 小时 $)$ 月工资按照 $4000$ 元 $($ 按照 $28$ 天计算标准 $)$ 计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少 $?$
$③$ 市环卫局与两个小区物业及住户协商分别试行一个月，根据实施情况，试分析哪个方案惠民力度大，值得进行推广 $?$

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面是边长为 $2$ 的等边三角形， $C C_{1} = 2$ ， $D$ ， $E$ 分别是线段 $A C$ 、 $C C_{1}$ 的中点， $C_{1}$ 在平面 $A B C$ 内的射影为 $D$ ．

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $B D E;$

(2)、若点 $F$ 为棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点，求三棱锥 $F - B D E$ 的体积 $;$

(3)、在线段 $B_{1} C_{1}$ 上是否存在点 $G$ ，使二面角 $G - B D - E$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ ，若存在，请求出 $C_{1} G$ 的长度，若不存在，请说明理由．

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住户编号	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$A$ 小区 $($ 分钟 $)$	$220$	$185$	$220$	$225$	$205$	$235$
$B$ 小区 $($ 分钟 $)$	$205$	$195$	$245$	$235$	$225$	$215$