江西省稳派上进联考2023-2024学年高二下学期7月期末调研测试数学试题

试卷更新日期：2024-07-05 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 数列 $2$ ， $- \frac{4}{3}$ ， $\frac{6}{5}$ ， $- \frac{8}{7}$ ， $\dots$ 的一个通项公式为( )

A、 $(- 1)^{n + 1} \frac{n + 1}{2 n + 1}$ B、 $(- 1)^{n - 1} \frac{2 n}{2 n - 1}$ C、 $(- 1)^{n} \frac{2 n}{2 n - 1}$ D、 $(- 1)^{n - 1} \frac{n}{n + 1}$

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2. 已知集合 $M = {x | x > - \frac{1}{2}}$ ， $N = {x | x \in Z, - 3 < x \leq 1}$ ，则 $M \cap N$ 的真子集个数为( )

A、 $3$ B、 $4$ C、 $7$ D、 $8$

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3. 某物体走过的路程 $s ($ 单位： $m)$ 与时间 $t ($ 单位： $s)$ 的函数关系为 $s = 2 t + \frac{1}{6} t^{3}$ ，则该物体在 $t = 2$ 时的瞬时速度为( )

A、 $4 m / s$ B、 $6 m / s$ C、 $8 m / s$ D、 $9 m / s$

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4. 已知在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{8} = 10$ ， $a_{6} = 20$ ，则 $a_{2024} - a_{2020} =$ ( )

A、 $15$ B、 $30$ C、 $45$ D、 $60$

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5. 设 $x_{0}$ 为函数 $f (x) = \frac{l n x}{e^{x}}$ 的极值点，则( )

A、 $x_{0} \in (0,1)$ B、 $x_{0} \in (1,3)$ C、 $x_{0} \in (3,4)$ D、 $x_{0} \in (4,5)$

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6. 已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $e^{2 a - 2} + e^{b} = e^{2 - 2 a} + e^{- b}$ ，则 $2 a + b =$ ( )

A、 $- 2$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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7. 若首项为 $1$ 的数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{\sqrt{3} a_{n} + 1}{\sqrt{3} - a_{n}}$ ，则 $a_{16} =$ ( )

A、 $2 - \sqrt{3}$ B、 $2 + \sqrt{3}$ C、 $- 1$ D、 $1$

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8. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $M$ 为曲线 $y = \frac{l n x}{x}$ 上位于第一象限内的一点， $N$ 为 $M$ 在 $x$ 轴上的射影，则 $s i n ∠ M O N$ 的最大值为( )

A、 $\frac{1}{\sqrt{e^{2} + 1}}$ B、 $\frac{1}{\sqrt{4 e^{2} + 1}}$ C、 $\frac{1}{e}$ D、 $\frac{1}{2 e}$

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二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. “ $\forall x \in (0,3]$ ， $x^{2} - a x + 9 \geq 0$ ”成立的一个充分条件是( )

A、 $a \leq 5$ B、 $a \leq 6$ C、 $a \leq 7$ D、 $a \leq 8$

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10. 已知 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数， $g (x)$ 为定义在 $R$ 上的偶函数，则( )

A、 $f (f (x)) = f (- f (- x))$ B、 $g (g (x)) = g (- g (- x))$ C、 $f (g (x)) = - f (- g (- x))$ D、 $g (f (x)) = - g (- f (- x))$

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11. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且当 $n \geq 2$ 时 $a_{n} = \{\begin{array}{l} n a_{n - 1}, n 为奇数, \\ \frac{a_{n - 1}}{n}, n 为偶数, \end{array}$ 则( )

A、 $a_{3} = \frac{3}{2}$ B、 $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{2 n} \leq \frac{1}{2}$ C、 $\exists n \in N^{*}$ ， $a_{2 n} > \frac{C_{2 n}^{n}}{4^{n}}$ D、 $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{2 n + 1} \leq (\frac{3}{2})^{n}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 已知命题 $p : \exists x \in [- 2024,211]$ ， $x^{2} > 985$ ，则 $\neg p$ 为．

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13. 方程 $3^{l n x} + 4^{l n x} = 5^{l n x}$ 的唯一正根为．

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14. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分，其传承赓 $(g ē n g)$ 续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，是中国古老的民间艺术之一 $.$ 已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为 $1$ 的圆形纸片，记为 $⊙ O$ ，在 $⊙ O$ 内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为 $⊙ O_{1}$ ，并裁剪去该正方形与内切圆之间的部分 $($ 如图所示阴影部分 $)$ ，记为一次裁剪操作 $\dots \dots$ 重复上述裁剪操作 $n$ 次，最终得到该剪纸，则第 $2024$ 次操作后，所有被裁剪部分的面积之和为．

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四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 已知函数 $f (x) = \frac{3}{2} - \frac{3}{2^{x} + 1}$ ．

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由 $;$

(2)、求 $x \in [1,2]$ 时， $f (x)$ 的值域．

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16. 已知函数 $f (x) = (x + a) l n (x + 1) .$ 记 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数．

(1)、若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程 $;$

(2)、讨论 $f^{'} (x)$ 的单调性．

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17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2 \times 3^{n - 1} - 1$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式 $;$

(2)、求数列 ${n a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = l n x - \frac{x - 1}{x}$ ， $x > 1$ ，证明：

(1)、 $f (x) > 0;$

(2)、 $s i n \frac{1}{x} < l n x - l n (x - 1);$

(3)、 $\forall n \in N^{*}$ ， $\sum_{i = 1}^{n} s i n \frac{1}{n + i} < l n 2 .$

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19. 若数列 ${b_{n}}$ 满足 $(n - \frac{5}{4}) π < b_{n} < (n + \frac{3}{4}) π$ ， $b_{n + 1} - b_{n} \notin {\frac{π}{2}, \frac{5 π}{2}}$ ，且 $s i n b_{n + 1} = c o s b_{n}$ ，则称数列 ${b_{n}}$ 为“正余弦错位数列” $.$ 已知数列 ${a_{n}}$ 为“正余弦错位数列”．

(1)、若 $a_{1} = \frac{π}{4}$ ，求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4};$

(2)、证明：数列 ${a_{n} + a_{n + 1}}$ 为等差数列．

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