湖北省襄阳市2023-2024学年高一下学期期末教学质量统一检测数学试题

试卷更新日期：2024-07-05 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知 $z = 2 - i$ ，则 $z (\bar{z} + i) =$ （）

A、 $6 - 2 i$ B、 $4 - 2 i$ C、 $6 + 2 i$ D、 $4 + 2 i$

查看试题解析
2. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线，且向量 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 与 $(λ + 1) \vec{a} + 2 \vec{b}$ 共线，则实数 $λ$ 的值为( )

A、 $- 2$ 或 $- 1$ B、 $- 2$ 或 $1$ C、 $- 1$ 或 $2$ D、 $1$ 或 $2$

查看试题解析
3. 利用简单随机抽样，从 $n$ 个个体中抽取一个容量为 $10$ 的样本．若抽完第一个个体后，余下的每个个体被抽到的机会为 $\frac{1}{4}$ ，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会为( )

A、 $\frac{5}{7}$ B、 $\frac{5}{18}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{10}{37}$

查看试题解析
4. $《$ 九章算术 $》$ 问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈．问积几何． $($ 今译：已知正四棱台体建筑物 $($ 方亭 $)$ 如下图，下底边长 $a = 5$ 丈，上底边长 $b = 4$ 丈，高 $ℎ = 5$ 丈．问它的体积是多少立方丈 $?$ ( )

A、 $75$ B、 $\frac{305}{3}$ C、 $\frac{320}{3}$ D、 $\frac{400}{3}$

查看试题解析
5. 甲在微信群中发布 $6$ 元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完若三人均领到整数元，且每人至少领到 $1$ 元，则乙获得“手气最佳” $($ 即乙领取的钱数不少于其他任何人 $)$ 的概率是( )

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{2}{5}$

查看试题解析
6. 水平放置的 $Δ A B C$ ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的 $Δ A^{^{^{'}}} B^{^{^{'}}} C^{^{^{'}}}$ ，其中 $O^{^{'}} A^{^{'}} = O^{^{'}} B^{^{'}} = 2$ ， $O^{'} C^{'} = \sqrt{3}$ ，则 $Δ A B C$ 绕 $A B$ 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为( )

A、 $8 \sqrt{3} π$ B、 $16 \sqrt{3} π$ C、 $(8 \sqrt{3} + 3) π$ D、 $(16 \sqrt{3} + 12) π$

查看试题解析
7. 已知 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | = 2 ， \vec{a} \cdot \vec{b} \in [- 4 ， 0]$ ，则 $| \vec{a} |$ 的取值范围是（　　）

A、[0，1] B、 $[\frac{1}{2} ， 1]$ C、[1，2] D、[0，2]

查看试题解析
8. 已知三棱锥 $A - B C D$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上， $A D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D = 2$ ，若球 $O$ 的表面积为 $29 π$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 的侧面积的最大值为( )

A、 $5 \sqrt{2} + \frac{25}{4}$ B、 $5 \sqrt{2} + \frac{5 \sqrt{41}}{4}$ C、 $6 \sqrt{3} + \frac{27}{2}$ D、 $10 \sqrt{2} + \frac{25}{2}$

查看试题解析

二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 用一个平面去截一个几何体，所得截面的形状是正方形，则原来的几何体可能是（）

A、长方体 B、圆台 C、四棱台 D、正四面体

查看试题解析
10. 疫情带来生活方式和习惯的转变，短视频成为观众空闲时娱乐活动的首选．某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效样本 $4000$ 份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则( )

A、图中 $a = 0.028$ B、在 $4000$ 份有效样本中，短视频观众年龄在 $20 ～ 30$ 岁的有 $1320$ 人 C、估计短视频观众的平均年龄为 $32$ 岁 D、估计短视频观众年龄的 $75 %$ 分位数为 $39$ 岁

查看试题解析
11. 已知 $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $A B = A C = 2$ ，用斜二测画法画出它的直观图 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则 $B^{'} C^{'}$ 的长可能是( )

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $\sqrt{5 - 2 \sqrt{2}}$ D、 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
12. 如图，已知 $△ A B C$ ， $△ D E F$ 均为等边三角形， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $B E$ ， $C F$ ， $A D$ 的中点， $P$ 为 $△ D E F$ 内一点 $($ 含边界 $)$ ， $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，下列说法正确的是( )

A、延长 $B E$ 交 $A C$ 于 $M$ ，则 $\vec{C M} = \frac{1}{3} \vec{C A}$ B、若 $\vec{O D} + \vec{O E} + \vec{O F} = \vec{0}$ ，则 $O$ 为 $△ A B C$ 的重心 C、若 $x + y = \frac{1}{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹是一条线段 D、 $x + y$ 的最小值是 $\frac{1}{3}$

查看试题解析

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 直播带货已成为一种新的消费方式，据某平台统计，在直播带货销量中，服装鞋帽类占28%，食品饮料类占20%，家居生活类占19%，美妆护肤类占9%，其他占24%．为了解直播带货各品类的质量情况，现按分层随机抽样的方法抽取一个容量为 $n$ 的样本．已知在抽取的样本中，服装鞋帽类有560件，则家居生活类有件

查看试题解析
14. 如图，在四面体 $A B C D$ 中， $B D = 2 \sqrt{2}$ ， $A C = 2$ ， $M$ 、 $N$ 分别为 $B C$ 、 $A D$ 的中点， $M N = 1$ ，则异面直线 $A C$ 与 $B D$ 所成的角是．

查看试题解析
15. 如图，在Rt $△ A B C$ 中，点 $M$ 是斜边 $A B$ 的中点，点 $N$ 在边 $B C$ 上，且 $M N ⊥ A B ， M N = \sqrt{3} ， C N = 1$ ，则 $A C =$ ．

查看试题解析
16. 已知 $\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}} + \vec{e_{3}} = \vec{0}$ ，且 $|\vec{e_{1}}| = |\vec{e_{2}}| = |\vec{e_{3}}| = 1$ ，实数 $x, y, z$ 满足 $x + y + z = 1$ ，且 $0 \leq x \leq \frac{1}{2} \leq y \leq 1$ ，则 $|x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}} + z \vec{e_{3}}|$ 的最小值是．

查看试题解析

四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = 5$ ．

(1)、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，求 $| \vec{b} |$ 的值；

(2)、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，求 $| 2 \vec{a} + \vec{b} |$ 的值．

查看试题解析
18. 如图，已知在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 为棱 $A C$ 的中点， $A B = A A_{1} = 2$ ．

(1)、求正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的表面积；

(2)、求证：直线 $A B_{1} / /$ 平面 $C_{1} B D$ ．

查看试题解析
19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面四边形 $A B C D$ 为正方形，顶点 $P$ 在底面的射影为线段 $A D$ 的中点 $O ， E$ 是 $P B$ 的中点， $A B = 2 ， P C = 3 ．$

(1)、求证： $O E / /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求过点 $D ， O ， E$ 的平面截该棱锥得到两部分的体积之比．

查看试题解析
20. 在 $① a^{2} - b c = b^{2} + c^{2}$ ， $② s i n 2 A + s i n (B + C) = 0$ ， $③ 2 a c o s A + b c o s C + c c o s B = 0$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并求解．
问题：如图，在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $D$ 是边 $B C$ 上一点， $B D = 2 D C$ ， $t a n C = \frac{2 \sqrt{3}}{5}$ ，若 ▲ ，

(1)、求角 $A$ 的值；

(2)、求 $t a n ∠ C A D$ 的值．

查看试题解析
21. 如图，在正六边形 $A B C D E F$ 中， $A B = 2$ ， $H$ 为 $D E$ 上一点，且 $\vec{E H} = λ \vec{E D} (0 \leq λ \leq 1)$ ， $B E$ ， $F H$ 交于点 $G$

(1)、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，试用 $\vec{A D}$ ， $\vec{A F}$ 表示 $\vec{A H}$ ；

(2)、求 $\vec{A G} \cdot \vec{C H}$ 的取值范围．

查看试题解析

22. 某校有高中生2000人，其中男女生比例约为

5 ： 4

，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽收了样本容量为

n

的样本，得到频数分布表和频率分布直方图.方案二：采用分层随机抽样方法，抽取了男、女生样本量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为170，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20.

身高（单位： $cm$ ）	$[145 ， 155)$	$[155 ， 165)$	$[165 ， 175)$	$[175 ， 185)$	$[185 ， 195]$
频数	$m$	$p$	$q$	6	4

(1)、根据图表信息，求

n

，

q

并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）

(2)、计算方案二中总样本的均值及方差；

(3)、计算两种方案总样本均值的差，并说明用方案二总样本的均值作为总体均值的估计合适吗？为什么？

查看试题解析