广东省江门市新会一中2023-2024学年高一（下）期末数学试卷

试卷更新日期：2024-07-05 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数 $\frac{5}{i - 2}$ 的共轭复数是( )

A、 $2 + i$ B、 $- 2 - i$ C、 $- 2 + i$ D、 $2 - i$

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2. 已知函数 $f (x) = s i n (2 π x - \frac{π}{5})$ ，则( )

A、 $(- \frac{3}{20}, \frac{7}{20})$ 上单调递增 B、 $(- \frac{1}{5}, \frac{3}{10})$ 上单调递增 C、 $(\frac{3}{10}, \frac{4}{5})$ 上单调递减 D、 $(\frac{3}{20}, \frac{13}{20})$ 上单调递增

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3. 底面积为 $2 π$ ，侧面积为 $6 π$ 的圆锥的体积是( )

A、 $8 π$ B、 $\frac{8 π}{3}$ C、 $2 π$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔 $148 ． 5 m$ 时，相应水面的面积为 $140 ． 0 k m^{2}$ ；水位为海拔 $157 ． 5 m$ 时，相应水面的面积为 $180 ． 0 k m^{2}$ ，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 $148 ． 5 m$ 上升到 $157 ． 5 m$ 时，增加的水量约为（ $\sqrt{7} \approx 2.65$ ）（）

A、 $1.0 \times 1 0^{9} m^{3}$ B、 $1.2 \times 1 0^{9} m^{3}$ C、 $1.4 \times 1 0^{9} m^{3}$ D、 $1.6 \times 1 0^{9} m^{3}$

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5. 设向量 $\vec{a} = (x + 1, x), \vec{b} = (x, 2)$ ，则( )

A、“ $x = - 3$ ”是“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的必要条件 B、“ $x = - 3$ ”是“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”的必要条件 C、“ $x = 0$ ”是“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的充分条件 D、“ $x = - 1 + \sqrt{3}$ ”是“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”的充分条件

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6. 已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是夹角为 $60 °$ 的两个单位向量，则 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 与 $\vec{b} = - 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ 的夹角是( )

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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7. 已知 $△ A B C$ 的外接圆圆心 $O$ ，且 $2 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ， $| \vec{O A} | = | \vec{A B} |$ ，则向量 $\vec{B A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为( )

A、 $\frac{1}{4} \vec{B C}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{B C}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$

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8. 当 $x \in [0,2 π]$ 时，曲线 $y = s i n x$ 与 $y = 2 s i n (3 x - \frac{π}{6})$ 的交点个数为( )

A、 $3$ B、 $4$ C、 $6$ D、 $8$

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 已知复数 $z = m^{2} - 1 + (m + 1) i (m \in R)$ ，则下列命题正确的是( )

A、若 $z$ 为纯虚数，则 $m = 1$ B、若 $z$ 为实数，则 $z = 0$ C、若 $z$ 在复平面内对应的点在直线 $y = 2 x$ 上，则 $m = - 1$ D、 $z$ 在复平面内对应的点不可能在第三象限

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10. 设 $a$ ， $b$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的有( )

A、若 $a / / α$ ， $b / / α$ ，则 $a / / b$ B、若 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ α$ ，则 $a / / b$ C、若 $a / / b$ ， $b / / α$ ， $a ⊄ α$ ，则 $a / / α$ D、若 $a / / α$ ， $α / / β$ ， $a ⊄ β$ ，则 $a / / β$

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11. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆 $O$ 的半径 $2$ ，点 $P$ 是圆 $O$ 内的定点，且 $O P = \sqrt{2}$ ，弦 $A C$ ， $B D$ 均过点 $P$ ，则下列说法正确的是( )

A、 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 为定值 B、当 $A C ⊥ B D$ 时， $\vec{A B} \cdot \vec{C D}$ 为定值 C、当 $∠ A B C = \frac{π}{3}$ 时， $△ A B C$ 面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\vec{O A} \cdot \vec{O C}$ 的取值范围是 $[- 4,0]$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 已知平面 $α$ 截球 $O$ 的球面所得圆的面积为 $π$ ， $O$ 到 $α$ 的距离为 $3$ ，则球 $O$ 的表面积为．

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13. 在 $△ A B C$ 中，已知 $t a n A$ ， $t a n B$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m (x + 1) + 1 = 0$ 的两个实根，则 $C =$ ．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $O$ 是 $B C$ 的中点．过点 $O$ 的直线分别交直线 $A B$ 、 $A C$ 于不同的两点 $M$ ， $N$ ，若 $\vec{A B} = m \vec{A M}$ ， $\vec{A C} = n \vec{A N}$ ，则 $m + n$ 的值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 已知函数 $f (x) = 2 s i n^{2} x - 4 c o s^{2} x + 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、设 $g (x) = f (\frac{x}{2})$ ，求 $g (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{3}]$ 的最大值与最小值．

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16. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $s i n A + \sqrt{3} c o s A = 2$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ， $\sqrt{2} b s i n C = c s i n 2 B$ ，求 $△ A B C$ 周长．

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17. 如图，在以 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 为顶点的五面体中，四边形 $A B C D$ 与四边形 $A D E F$ 均为等腰梯形， $B C / / A D$ ， $E F / / A D$ ， $A D = 4$ ， $A B = B C = E F = 2$ ， $E D = \sqrt{10}, F B = 2 \sqrt{3}$ ， $M$ 为 $A D$ 的中点．

(1)、证明： $B M / /$ 平面 $C D E$ ；

(2)、求点 $M$ 到 $A B F$ 的距离．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，侧面 $P A D$ 是正三角形，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $M$ 是 $P D$ 的中点．

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求证： $A M ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(3)、求侧面 $P B C$ 与底面 $A B C D$ 所成二面角的余弦值．

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19. 如果函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，对于定义域内的任意 $x$ ，存在实数 $a$ 使得 $f (x + a) = f (- x)$ 成立，则称此函数具有“ $P (a)$ 性质”．

(1)、判断函数 $y = s i n x$ 是否具有“ $P (a)$ 性质”，若具有“ $P (a)$ 性质”求出所有 $a$ 的值；若不具有“ $P (a)$ 性质”，请说明理由．

(2)、已知 $y = f (x)$ 具有“ $P (0)$ 性质”，且当 $x \leq 0$ 时 $f (x) = (x + m)^{2}$ ，求 $y = f (x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值．

(3)、设函数 $y = g (x)$ 具有“ $P (\pm 1)$ 性质”，且当 $- \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$ 时， $g (x) = | x | .$ 若 $y = g (x)$ 与 $y = m x$ 交点个数为 $2023$ 个，求 $m$ 的值．

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