四川省泸州市合江县2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试卷

试卷更新日期：2024-07-05 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. $\frac{5 (1 + i^{3})}{(2 + i) (2 - i)} =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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2. 下列求导运算正确的是（）

A、 ${(e^{x} l n x)}^{^{'}} = e^{x} (\frac{1}{x} + l n x)$ B、 ${(c o s \frac{π}{3})}^{^{'}} = - s i n \frac{π}{3}$ C、 ${(x^{2} s i n x)}^{^{'}} = 2 x c o s x$ D、 ${(3^{x})}^{^{'}} = 3^{x}$

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3. 直线 $l$ 过圆 $C : {(x + 3)}^{2} + y^{2} = 4$ 的圆心，并且与直线 $x + y + 2 = 0$ 垂直，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $x + y - 2 = 0$ B、 $x - y + 2 = 0$ C、 $x + y - 3 = 0$ D、 $x - y + 3 = 0$

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} = 3^{n} - 1$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、81 B、162 C、243 D、486

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5. 下列命题中，真命题的是（）

A、若样本数据 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{10}$ 的方差为2，则数据 $2 x_{1} - 1, 2 x_{2} - 1, \cdot \cdot \cdot, 2 x_{10} - 1$ 的方差为8 B、若回归方程为 $\hat{y} = - 0.45 x + 0.6$ ，则变量y与x正相关 C、甲同学所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按简单随机抽样的方法抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为 $\frac{1}{25}$ D、在线性回归分析中相关指数 $R^{2}$ 用来刻画回归的效果，若 $R^{2}$ 值越小，则模型的拟合效果越好

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6. 已知 $f (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + b x + a^{2}$ 在 $x = - 1$ 处有极值 $0$ ，则 $a + b =$ （）

A、11或4 B、-4或-11 C、11 D、4

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7. $(1 - \frac{2 x}{y}) (x + y)^{6}$ 的展开式中 $x^{4} y^{2}$ 的系数为（）

A、55 B、 $- 70$ C、65 D、 $- 25$

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8. 已知 $a = \frac{l n 2}{2}$ ， $b = \frac{l n 3}{e}$ ， $c = \frac{\sqrt{2}}{e^{\sqrt{2}}}$ ，则（参考数据： $l n 2 \approx 0.7$ ）（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $b > c > a$ D、 $c > a > b$

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二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9. 直线 $l_{1} ： a x - y - b = 0 ， l_{2} ： b x - y + a = 0 (a b \neq 0 ， a \neq b)$ ，下列图象中正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球．整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 表示由甲罐取出的球是红球，白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B ， C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”，“两球为一红一白”的事件，则下列结论中正确的是（）

A、 $P (B | A_{1}) = \frac{5}{21}$ B、 $P (C | A_{2}) = \frac{12}{21}$ C、 $P (B) = \frac{17}{42}$ D、 $P (C) = \frac{43}{84}$

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11. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F ，过F作两条互相垂直的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{1}$ 与C相交于P ， Q ， $l_{2}$ 与C相交于M ， N ， $P Q$ 的中点为G ， $M N$ 的中点为H ，则（）

A、 $\frac{1}{| P F |} + \frac{1}{| Q F |} = 1$ B、 $\frac{1}{| P Q |} + \frac{1}{| M N |} = \frac{1}{2}$ C、 $| P Q | + | M N |$ 的最大值为16 D、当 $| G H |$ 最小时，直线 $G H$ 的斜率不存在

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）

12. 近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A ， B角色各1人，C角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A ， B角色不可同时为女生．则店主共有种选择方式．

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13. 若函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{a}{2} x^{2} + 4 x + 1$ 在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是.

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14. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P是C上一点，且 $P F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ ， H是线段 $P F_{1}$ 上靠近 $F_{1}$ 的三等分点，且 $\vec{O H} \cdot \vec{P F_{1}} = 0$ ，则C的离心率为.

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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 a_{2} + a_{4} = 13$ ， $S_{7} = 49$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} + 2^{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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16. 人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为 $\frac{1}{2}$ （先验概率）.

(1)、求首次试验结束的概率；

(2)、在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.
①求选到的袋子为甲袋的概率，
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.

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17. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = 1$ ， $A C = \sqrt{2}$ ， E ， F为线段 $B B_{1}$ ， $A C_{1}$ 的中点．

(1)、证明：EF⊥平面 $A_{1} A C C_{1}$ ；

(2)、若直线EA与平面ABC所成的角大小为 $\frac{π}{6}$ ，求点C到平面 $A E C_{1}$ 的距离．

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x + k}{e^{x}}$ （ $k$ 为常数， $e = 2.71828$ …是自然对数的底数），曲线 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与 $x$ 轴平行．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、设 $g (x) = x f^{'} (x)$ ，其中 $f^{^{'}} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数．证明：对任意 $x > 0$ ， $g (x) < 1 + e^{- 2}$ ．

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19. 已知一动圆与圆 $E ： {(x + 3)}^{2} + y^{2} = 18$ 外切，与圆 $F ： {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 2$ 内切，该动圆的圆心的轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的方程．

(2)、已知点 $P$ 在曲线 $C$ 上，斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点（异于点 $P$ ）．记直线 $P A$ 和直线 $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，从下面①、②、③中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立．
① $P (4 ， 1)$ ；② $k_{1} + k_{2} = 0$ ；③ $k = - \frac{1}{2}$ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

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