湖南省长沙市平高集团六校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试卷

试卷更新日期：2024-07-05 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {x ∣ | x - 1 | \leq 1}, B = {0, 1, 2, 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1, 2}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${0, 1, 2, 4}$ D、 ${1, 4}$

查看试题解析
2. 已知 $\vec{a} = (3, 1), \vec{b} = (1, m)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 3$ C、3 D、 $\frac{1}{3}$

查看试题解析
3. “ $a = \frac{1}{6}$ ”是“直线 $x + 2 a y - 1 = 0$ 与直线 $(3 a - 1) x - a y + 1 = 0$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
4. 已知 $a = 4^{0.3}, b = {(l o g_{4} a)}^{4}, c = l o g_{4} (l o g_{4} a)$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $c > a > b$

查看试题解析
5. 已知 $t a n θ = 2$ ，则 $\frac{s i n (2 θ - π)}{1 - s i n (\frac{π}{2} - 2 θ)} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、2

查看试题解析
6. 已知 ${(x + \frac{1}{2 x^{2}})}^{n}$ 的展开式中第3项的二项式系数等于36，则该展开式中的常数项为（）

A、 $\frac{21}{2}$ B、 $\frac{63}{16}$ C、 $\frac{21}{16}$ D、 $\frac{9}{32}$

查看试题解析
7. 第33届夏季奥林匹克运动会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办．假设这届奥运会将新增2个竞赛项目和4个表演项目，现有三个场地A ， B ， C承办这6个新增项目的比赛，每个场地至少承办其中1个项目，且A场地只能承办竞赛项目，则不同的安排方法有（）

A、60种 B、74种 C、88种 D、120种

查看试题解析
8. 已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为 $3 \sqrt{5}$ ，则该正四棱台内半径最大的球的表面积为（）

A、 $12 π$ B、 $27 π$ C、 $\frac{64 π}{9}$ D、 $\frac{64 π}{3}$

查看试题解析

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 对于随机变量 $X$ ，下列说法正确的有（）

A、若 $E (X) = 1$ ，则 $E (2 X - 1) = 1$ B、若 $D (X) = 1$ ，则 $D (2 X - 1) = 4$ C、若 $X ∼ N (2, 4)$ ，则 $E (X) = 4$ D、若 $X ∼ B (10, 0.5)$ ，则 $E (X) = 5$

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = s i n x \cdot c o s x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ C、 $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{1}{2}$ D、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调递增

查看试题解析
11. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2^{n + 1} + m$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} + \frac{b_{2}}{2} + \frac{b_{3}}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{b_{n}}{n} = n$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $m = - 1$ B、设 $f (n) = \frac{a_{n}^{2} + 36}{a_{n}}$ ， $n \in N^{*}$ ，则 $f (n)$ 的最小值为12.5 C、若 $t a_{n} - b_{n} + 2 > 0$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，则 $t > \frac{1}{8}$ D、设 $c_{n} = \frac{a_{n} (1 - b_{n})}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，若数列 ${c_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，则 $T_{n} < 2$

查看试题解析

三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.

12. 若复数 $z$ 满足 $\bar{z} (1 - i) = 1 + 3 i$ ， $i$ 为虚数单位，则 $z =$ .

查看试题解析
13. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{m^{2}} + y^{2} = 1 (m > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $m =$ .

查看试题解析
14. 已知曲线 $m x^{2} - (8 m - 1) x - 3 y + 16 m + 8 = 0$ 恒过 $M$ 点，且 $M$ 在抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 上．若 $P$ 是 $C$ 上的一点，点 $N (6, 3)$ ，则点 $P$ 到 $C$ 的焦点与到点 $N$ 的距离之和的最小值为．

查看试题解析

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, C$ 为锐角，且 $a = 2 c s i n A$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ， $c = \sqrt{3}$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．

查看试题解析
16. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形， $S A = S B = 2$ ， $E$ 、 $F$ 分别是 $S C$ 、 $B D$ 的中点.

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $S A B$ ；

(2)、若二面角 $S - A B - D$ 的大小为 $\frac{π}{2}$ ，求直线 $S D$ 与平面 $A B C D$ 所成角的大小.

查看试题解析
17. 双曲线C的焦点与椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 的焦点相同，双曲线C的一条准线方程为 $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、若双曲线C的一弦中点为 $(3, 2)$ ，求此弦所在的直线方程.

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = l n (x - 3) - a x (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(5, + \infty)$ 上没有极值点，求 $a$ 的取值范围．

查看试题解析
19. 某中学的风筝兴趣小组决定举行一次盲盒风筝比赛，比赛采取得分制度评选优胜者，可选择的风筝为硬翅风筝､软翅风筝､串式风筝､板式风筝､立体风筝，共有5种风筝，将风筝装入盲盒中摸取风筝，每位参赛选手摸取硬翅风筝或软翅风筝均得1分并放飞风筝，摸取串式风筝､板式风筝､立体风筝均得2分并放飞风筝，每次摸取风筝的结果相互独立，且每次只能摸取1只风筝，每位选手每次摸取硬翅风筝或软翅风筝的概率为 $\frac{2}{5}$ ，摸取其余3种风筝的概率为 $\frac{3}{5}$ .

(1)、若选手甲连续摸了2次盲盒，其总得分为 $X$ 分，求 $X$ 的分布列与期望；

(2)、假设选手乙可持续摸取盲盒，即摸取盲盒次数可以为 $1, 2, 3, ⋯$ 中的任意一个数，记乙累计得 $n$ 分的概率为 $P (n)$ ，当 $n \geq 3$ 时，求 $P (n)$ .

查看试题解析