广西壮族自治区防城港市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

试卷更新日期：2024-07-05 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数 $\frac{1 + 2 i}{3 - 4 i}$ 的共轭复数为（）

A、 $- \frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ B、 $- \frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$ C、 $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$ D、 $\frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$

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2. 对某平面图形使用斜二测画法后得到的直观图是边长为1的正方形（如图），则原图形的面积是

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 D、4

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3. 进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是 $\frac{3}{5}$ .用计算机生成了20组随机数，结果如下：116 785 812 730 134 452 125 689 024 169 334 217 109 361 908 284 044 147 318 027
若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{13}{20}$ D、 $\frac{2}{5}$

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4. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = 2 \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{b}$

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5. 已知 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别是a ， b ， c ，若 $b c o s C + c c o s B = b$ ，且 $a = c c o s B$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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6. 在高二选科前，高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计，根据统计数据发现：选物理的同学占全班同学的80%，同时选物理和化学的同学占全班同学的60%，且该班同学选物理和选化学相互独立.现从该班级中随机抽取一名同学，则该同学既不选物理也不选化学的概率为（）

A、0.125 B、0.1 C、0.075 D、0.05

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7. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E ， F分别为棱BC ， $C C_{1}$ 的中点，过点A ， E ， F作一截面，该截面将正方体分成上、下两部分，则分成的上、下两部分几何体的体积比为（）

A、2 B、 $\frac{15}{7}$ C、 $\frac{17}{7}$ D、 $\frac{19}{7}$

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8. 如图，已知 $O$ 是 $△ A B C$ 的垂心，且 $\vec{O A} + 2 \vec{O B} + 3 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $t a n ∠ B A C : t a n ∠ A B C : t a n ∠ A C B$ 等于（）

A、 $1 : 2 : 3$ B、 $1 : 2 : 4$ C、 $2 : 3 : 4$ D、 $2 : 3 : 6$

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二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分。

9. 已知 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β, γ$ 是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m ∥ α, n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $α ∥ γ, β ∥ γ$ ，则 $α ∥ β$ C、若 $m ∥ α, n ∥ α$ ，且 $m \subset β, n \subset β$ ，则 $α ∥ β$ D、若 $m ⊥ α, n ⊥ β$ ，且 $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$

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10. 如图，延长正方形 $A B C D$ 的边 $C D$ 至点E ，使得 $D E = C D$ ，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A ，若 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A E}$ ，则下列判断不正确的是（）

A、满足 $λ + μ = 2$ 的点P必为 $B C$ 的中点 B、满足 $λ + μ = 1$ 的点P有且只有一个 C、满足 $λ + μ = 3$ 的点P有且只有一个 D、满足 $λ + μ = \frac{3}{2}$ 的点P有且只有一个

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11. 已知圆锥的顶点为 $S$ ， $O$ 为底面圆心，母线 $S A$ 与 $S B$ 互相垂直， $△ S A B$ 的面积为2， $S A$ 与圆锥底面所成的角为 $3 0^{°}$ ，则下列说法正确的是（）

A、圆锥的高为1 B、圆锥的体积为 $3 π$ C、圆锥侧面展开图的圆心角为 $\sqrt{3} π$ D、二面角 $S - A B - O$ 的大小为 $4 5^{°}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 某班兴趣小组做了一次关于“电子产品对视力的影响”的问卷调查．他们从 $3 ～ 6$ 岁，7～12岁，13～15岁，16～18岁四个年龄段回收的问卷依次为120份、180份、240份、 $x$ 份．因调查需要，现从回收的问卷中按年龄段按比例分配分层随机抽取一个容量为300的样本．若在 $7 ～ 12$ 岁年龄段的问卷中抽取了60份，则应在 $16 ～ 18$ 岁年龄段的问卷中抽取的份数为．

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13. 设 $z$ 是复数且 $| z - 1 + 2 i | = 1$ ，则 $| z |$ 的最小值为.

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14. 已知在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，点 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心，且 $\frac{a}{3} \vec{G A} + \frac{b}{5} \vec{G B} + \frac{c}{7} \vec{G C} = \vec{0}$ ，则角 $C$ 的大小为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. 已知向量 $\vec{a} = (3, 4)$ ， $\vec{b} = (1, x)$ ．

(1)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，求 $| \vec{a} + 2 \vec{b} |$ ；

(2)、若 $\vec{c} = (1, 2)$ ， $\vec{c} / / (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，求 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角的余弦值．

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16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， ……， $[90, 100]$ 得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、求样本成绩的第75百分位数；

(3)、已知落在 $[50, 60)$ 的平均成绩是54，方差是7，落在 $[60, 70)$ 的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数 $\bar{z}$ 和总方差 $s^{2}$ .

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17. 记 $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，已知 $2 b - c = 2 a c o s C$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $D$ 点在线段BC上，且AD平分 $∠ B A C$ ，若 $B D = 2 C D$ ，且 $A D = \sqrt{3}$ ，求 $a$ ．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知底面 $A B C D$ 为矩形，侧面 $P A D$ 是正三角形，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D, M$ 是棱 $P D$ 的中点， $A D = 2$ .

(1)、证明： $A M ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若二面角 $M - B C - D$ 为 $\frac{π}{6}$ ，求异面直线 $A B$ 与 $P C$ 所成角的正切值.

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19. 在某抽奖活动中，初始时的袋子中有3个除颜色外其余都相同的小球，颜色为2白1红.每次随机抽取一个小球后放回.抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把三个球的颜色重新变为2白1红的初始状态．记第n次抽奖中奖的概率为 $P_{n}$ .

(1)、求 $P_{2}$ ， $P_{3}$ ；

(2)、若存在实数a ， b ， c ，对任意的不小于4的正整数n ，都有 $P_{n} = a P_{n - 1} + b P_{n - 2} + c P_{n - 3}$ ，试确定a ， b ， c的值；

(3)、若累计中奖4次及以上可以获得一枚优胜者勋章，则从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为多少？

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