广东省广州市2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-07-04 类型：中考真卷

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 四个数 $- 10$ ， $- 1$ ， $0$ ， $10$ 中，最小的数是（）

A、 $- 10$ B、 $- 1$ C、0 D、10

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2. 下列图案中，点 $O$ 为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点 $O$ 对称的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 若 $a \neq 0$ ，则下列运算正确的是（）

A、 $\frac{a}{2} + \frac{a}{3} = \frac{a}{5}$ B、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{5}$ C、 $\frac{2}{a} \cdot \frac{3}{a} = \frac{5}{a}$ D、 $a^{3} \div a^{2} = 1$

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4. 若 $a < b$ ，则（）

A、 $a + 3 > b + 3$ B、 $a - 2 > b - 2$ C、 $- a < - b$ D、 $2 a < 2 b$

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5. 为了解公园用地面积 $x$ （单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照 $0 < x \leq 4$ ， $4 < x \leq 8$ ， $8 < x \leq 12$ ， $12 < x \leq 16$ ， $16 < x \leq 20$ 的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是（）

A、 $a$ 的值为20 B、用地面积在 $8 < x \leq 12$ 这一组的公园个数最多 C、用地面积在 $4 < x \leq 8$ 这一组的公园个数最少 D、这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷

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6. 某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车 $x$ 辆，根据题意，可列方程为（）

A、 $1.2 x + 1100 = 35060$ B、 $1.2 x - 1100 = 35060$ C、 $1.2 (x + 1100) = 35060$ D、 $x - 1100 = 35060 \times 1.2$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = A C = 6$ ， $D$ 为边 $B C$ 的中点，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $A B$ ， $A C$ 上， $A E = C F$ ，则四边形 $A E D F$ 的面积为（）

A、18 B、 $9 \sqrt{2}$ C、9 D、 $6 \sqrt{2}$

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8. 函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + c$ 与 $y_{2} = \frac{k}{x}$ 的图象如图所示，当（）时， $y_{1}$ ， $y_{2}$ 均随着 $x$ 的增大而减小．

A、 $x < - 1$ B、 $- 1 < x < 0$ C、 $0 < x < 2$ D、 $x > 1$

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9. 如图， $⊙ O$ 中，弦 $A B$ 的长为 $4 \sqrt{3}$ ，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上， $O C ⊥ A B$ ， $∠ A B C = 30 °$ ． $⊙ O$ 所在的平面内有一点 $P$ ，若 $O P = 5$ ，则点 $P$ 与 $⊙ O$ 的位置关系是（）

A、点 $P$ 在 $⊙ O$ 上 B、点 $P$ 在 $⊙ O$ 内 C、点 $P$ 在 $⊙ O$ 外 D、无法确定

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10. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 $72 °$ 的扇形，若扇形的半径 $l$ 是5，则该圆锥的体积是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{11}}{8} π$ B、 $\frac{\sqrt{11}}{8} π$ C、 $2 \sqrt{6} π$ D、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3} π$

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）

11. 如图，直线 $l$ 分别与直线 $a$ ， $b$ 相交， $a ∥ b$ ，若 $∠ 1 = 71 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为．

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12. 如图，把 $R_{1}$ ， $R_{2}$ ， $R_{3}$ 三个电阻串联起来，线路 $A B$ 上的电流为 $I$ ，电压为 $U$ ，则 $U = I R_{1} + I R_{2} + I R_{3}$ ．当 $R_{1} = 20.3$ ， $R_{2} = 31.9$ ， $R_{3} = 47.8$ ， $I = 2.2$ 时， $U$ 的值为．

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13. 如图， $▱ A B C D$ 中， $B C = 2$ ，点 $E$ 在 $D A$ 的延长线上， $B E = 3$ ，若 $B A$ 平分 $∠ E B C$ ，则 $D E =$ ．

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14. 若 $a^{2} - 2 a - 5 = 0$ ，则 $2 a^{2} - 4 a + 1 =$ ．

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15. 定义新运算： $a \otimes b = {\begin{array}{l} a^{2} - b (a \leq 0) \\ - a + b (a > 0) \end{array}$ 例如： $- 2 \otimes 4 = (- 2)^{2} - 4 = 0$ ， $2 \otimes 3 = - 2 + 3 = 1$ ．若 $x \otimes 1 = - \frac{3}{4}$ ，则 $x$ 的值为．

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16. 如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，A（1，0），C（0，2）．将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'（点A平移后的对应点为A^'），A'B'交函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，则下列结论：
①k=2；
②△OBD的面积等于四边形ABDA^'的面积；
③ $A^{'} E$ 的最小值是 $\sqrt{2}$ ；
④∠B'BD=∠BB'O．
其中正确的结论有．（填写所有正确结论的序号）

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三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17. 解方程： $\frac{1}{2 x - 5} = \frac{3}{x}$ ．

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18. 如图，点 $E$ ， $F$ 分别在正方形 $A B C D$ 的边 $B C$ ， $C D$ 上， $B E = 3$ ， $E C = 6$ ， $C F = 2$ ．求证： $△ A B E ∽ △ E C F$ ．

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19. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ．

(1)、尺规作图：作 $A C$ 边上的中线 $B O$ （保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、在（1）所作的图中，将中线 $B O$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $180 °$ 得到 $D O$ ，连接 $A D$ ， $C D$ ．求证：四边形 $A B C D$ 是矩形．

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20. 关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + 4 - m = 0$ 有两个不等的实数根．

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、化简： $\frac{1 - m^{2}}{| m - 3 |} \div \frac{m - 1}{2} \cdot \frac{m - 3}{m + 1}$ ．

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21. 善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一．为了解同学们的提问水平，对 $A$ ， $B$ 两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）：
$A$ 组
75
78
82
82
84
86
87
88
93
95
$B$ 组
75
77
80
83
85
86
88
88
92
96

(1)、求 $A$ 组同学得分的中位数和众数；

(2)、现从 $A$ 、 $B$ 两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率．

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22. 2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从 $A$ 点垂直下降到 $B$ 点，再垂直下降到着陆点 $C$ ，从 $B$ 点测得地面 $D$ 点的俯角为 $36.87 °$ ， $A D = 17$ 米， $B D = 10$ 米．

(1)、求 $C D$ 的长；

(2)、若模拟装置从 $A$ 点以每秒2米的速度匀速下降到 $B$ 点，求模拟装置从 $A$ 点下降到 $B$ 点的时间．（参考数据： $s i n 36.87 ° \approx 0.60$ ， $c o s 36.87 ° \approx 0.80$ ， $t a n 36.87 ° \approx 0.75$ ）

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23. 一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高 $y$ 和脚长 $x$ 之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：
脚长 $x (c m)$
…
$23$
$24$
$25$
$26$
$27$
$28$
…
身高 $y (c m)$
…
$156$
$163$
$170$
$177$
$184$
$191$
…

(1)、在图1中描出表中数据对应的点 $(x, y)$ ；

(2)、根据表中数据，从 $y = a x + b (a \neq 0)$ 和 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出 $x$ 的取值范围）；

(3)、如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为 $25.8 c m$ ，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高．

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24. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ C = 120 °$ ．点 $E$ 在射线 $B C$ 上运动（不与点 $B$ ，点 $C$ 重合）， $△ A E B$ 关于 $A E$ 的轴对称图形为 $△ A E F$ ．

(1)、当 $∠ B A F = 30 °$ 时，试判断线段 $A F$ 和线段 $A D$ 的数量和位置关系，并说明理由；

(2)、若 $A B = 6 + 6 \sqrt{3}$ ， $⊙ O$ 为 $△ A E F$ 的外接圆，设 $⊙ O$ 的半径为 $r$ ．
①求 $r$ 的取值范围；
②连接 $F D$ ，直线 $F D$ 能否与 $⊙ O$ 相切？如果能，求 $B E$ 的长度；如果不能，请说明理由．

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25. 已知抛物线 $G : y = a x^{2} - 6 a x - a^{3} + 2 a^{2} + 1 (a > 0)$ 过点 $A (x_{1}, 2)$ 和点 $B (x_{2}, 2)$ ，直线 $l : y = m^{2} x + n$ 过点 $C (3, 1)$ ，交线段 $A B$ 于点 $D$ ，记 $△ C D A$ 的周长为 $C_{1}$ ， $△ C D B$ 的周长为 $C_{2}$ ，且 $C_{1} = C_{2} + 2$ ．

(1)、求抛物线 $G$ 的对称轴；

(2)、求 $m$ 的值；

(3)、直线 $l$ 绕点 $C$ 以每秒 $3 °$ 的速度顺时针旋转 $t$ 秒后 $(0 \leq t < 45)$ 得到直线 $l^{'}$ ，当 $l^{'} ∥ A B$ 时，直线 $l^{'}$ 交抛物线 $G$ 于 $E$ ， $F$ 两点．
①求 $t$ 的值；
②设 $△ A E F$ 的面积为 $S$ ，若对于任意的 $a > 0$ ，均有 $S \geq k$ 成立，求 $k$ 的最大值及此时抛物线 $G$ 的解析式．

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脚长 $x (c m)$	…	$23$	$24$	$25$	$26$	$27$	$28$	…
身高 $y (c m)$	…	$156$	$163$	$170$	$177$	$184$	$191$	…

$A$ 组	75	78	82	82	84	86	87	88	93	95
$B$ 组	75	77	80	83	85	86	88	88	92	96