吉林省2024年中考数学试卷
试卷更新日期：2024-07-04 类型：中考真卷
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
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1. 若（﹣3）×□的运算结果为正数，则□内的数字可以为（ ）A、2 B、1 C、0 D、﹣12. 长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达2040000000m3 ． 数据2040000000用科学记数法表示为（ ）A、2.04×1010 B、2.04×109 C、20.4×108 D、0.204×10103. 葫芦在我国古代被看作吉祥之物．如图是一个工艺葫芦的示意图，关于它的三视图说法正确的是（ ）
A、主视图与左视图相同 B、主视图与俯视图相同 C、左视图与俯视图相同 D、主视图、左视图与俯视图都相同4. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A、（x﹣2）2＝﹣1 B、（x﹣2）2＝0 C、（x﹣2）2＝1 D、（x﹣2）2＝25. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（0，2）．以OA ， OC为边作矩形OABC ． 若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA'B'C' ， 则点B'的坐标为（ ）
A、（﹣4，﹣2） B、（﹣4，2） C、（2，4） D、（4，2）6. 如图，四边形ABCD内接于⊙O ． 过点B作BE∥AD ， 交CD于点E ． 若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是（ ）
A、50° B、100° C、130° D、150°二、填空题（每小题3分，共24分）
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7. 当分式的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为 ．8. 因式分解：a2﹣3a=
9. 不等式组的解集是 ．10. 如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．
11. 正六边形的一个内角的度数是°．12. 如图，正方形ABCD的对角线AC ， BD相交于点O ， 点E是OA的中点，点F是OD上一点，连接EF ． 若∠FEO＝45°，则的值为 ．
13. 图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB' ， AB⊥B'C于点C ， BC＝0.5尺，B'C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为 ．
14. 某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地．小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由⊙O和扇形OBC组成，OB ， OC分别与⊙O交于点A ， D ． OA＝1m ， OB＝10m ， ∠AOD＝40°，则阴影部分的面积为m2（结果保留π）．
三、解答题（每小题5分，共20分）
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15. 先化简，再求值：（a+1）（a﹣1）+a2+1，其中 ．16. 吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道舰丽的风景线．某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．17. 如图，在▱ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E ． 求证：AE＝BC ．
18. 钢琴素有“乐器之王”的美称．键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
四、解答题（每小题7分，共28分）
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19. 图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A ， B ， C ， D ， E ， O均在格点上．图①中已画出四边形ABCD ， 图②中已画出以OE为半径的⊙O ． 只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
(1)、在图①中，画出四边形ABCD的一条对称轴．(2)、在图②中，画出经过点E的⊙O的切线．20. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)、求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．(2)、当电阻R为3Ω时，求此时的电流I ．21. 中华人民共和国2019﹣2023年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示．
（以上数据引自《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》）
根据以上信息回答下列问题：
(1)、2019﹣2023年全国居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？(2)、直接写出2019﹣2023年全国居民人均可支配收入的中位数．(3)、下列判断合理的是（填序号）．①2019﹣2023年全国居民人均可支配收入呈逐年上升趋势．
②2019﹣2023年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年，因此这5年中，2020年全国居民人均可支配收入最低．
22. 图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度AB＝873m ， 如图②．从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC＝37°，看塔底D的俯角∠EAD＝45°，求吉塔的高度CD（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）
五、解答题（每小题8分，共16分）
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23. 综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究．第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识；第三小组负责汇报和交流．下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．
【背景调查】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x mm ， 凳面的宽度为y mm ， 记录如下：
以对称轴为基准向两边各取相同的长度x/mm
16.5
19.8
23.1
26.4
29.7
凳面的宽度y/mm
115.5
132
148.5
165
181.5
【分析数据】
如图③，小组根据表中x ， y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题：
(1)、观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．(2)、当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？24. 小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：
【探究论证】
(1)、如图①，在△ABC中，AB＝BC ， BD⊥AC ， 垂足为点D ． 若CD＝2，BD＝1，则S△ABC＝ ．(2)、如图②，在菱形A'B'C'D'中，A'C'＝4，B'D'＝2，则S菱形A'B'C'D'＝ ．(3)、如图③，在四边形EFGH中，EG⊥FH ， 垂足为点O ．若EG＝5，FH＝3，则S四边形EFGH= ▲ ；
若EG＝a ， FH＝b ， 猜想S四边形EFGH与a ， b的关系，并证明你的猜想．
(4)、【理解运用】如图④，在△MNK中，MN＝3，KN＝4，MK＝5，点P为边MN上一点．小明利用直尺和圆规分四步作图；
（ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边KN ， KM于点R ， I；
（ⅱ）以点P为圆心，KR长为半径画弧，交线段PM于点I'；
（ⅲ）以点I'为圆心，IR长为半径画弧，交前一条弧于点R' ， 点R' ， K在MN同侧；
（ⅳ）过点P画射线PR' ， 在射线PR'上截取PQ＝KN ， 连接KP ， KQ ， MQ ．
请你直接写出S四边形MPKQ的值．
六、解答题（每小题10分，共20分）
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25. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm ， AD是△ABC的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线AD﹣DB向终点B运动．过点P作PQ∥AB ， 交AC于点Q ， 以PQ为边作等边三角形PQE ， 且点C ， E在PQ同侧．设点P的运动时间为t（s）（t＞0），△PQE与△ABC重合部分图形的面积为S（cm2）．
(1)、当点P在线段AD上运动时，判断△APQ的形状（不必证明），并直接写出AQ的长（用含t的代数式表示）．(2)、当点E与点C重合时，求t的值．(3)、求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．26. 小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为﹣2时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6．
(1)、直接写出k ， a ， b的值．(2)、小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象，如图（2）．Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．
Ⅱ．若关于x的方程ax2+bx+3﹣t＝0（t为实数），在0＜x＜4时无解，求t的取值范围．
Ⅲ．若在函数图象上有点P ， Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m ， Q的横坐标为﹣m+1．小明对P ， Q之间（含P ， Q两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围．