浙江省宁波市慈溪市中部区域2023-2024学年下学期期中质量检测浙教版八年级数学试卷

试卷更新日期：2024-07-04 类型：期中考试

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一、选择题 (本题有 10 小题, 每小题 3 分, 共 30 分)

1. 下列图形中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 冉冉的妈妈在网上销售装饰品.最近一周，每天销售某种装饰品的个数为：11，10，11，13，x，10，15.如果这组数据的众数10，则x的值是（）

A、10 B、11 C、12 D、15

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3. 函数 $y = \sqrt{4 - x}$ 中自变量 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 4$ B、 $x < 4$ C、 $x \geq 4$ D、 $x \leq 4$

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4. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 2 x = 3$ ，配方后得到的方程是（　　）

A、 ${(x - 1)}^{2} = 4$ B、 ${(x + 1)}^{2} = 4$ C、 ${(x + 2)}^{2} = 1$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 1$

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5. 如果一个多边形的边数是 5 ，则这个多边形的外角和是（）

A、 $180^{\circ}$ B、 $360^{\circ}$ C、 $540^{\circ}$ D、 $720^{\circ}$

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6. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(a - 1) x^{2} + x - a^{2} + 1 = 0$ 有一个根为 0 ，则 $a$ 的值等于（）

A、-1 B、0 C、1 D、1 或者 -1

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7. 已知 $x + y = - 2, x y = 1$ ，则代数式 $\sqrt{\frac{y}{x}} + \sqrt{\frac{x}{y}}$ 的值是（）

A、2 B、0 C、4 D、1

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8. 某基金 2019 年总投入 10.8 万元，到 2021年总额预计达到 14 万元，设该基金的年平均涨幅为 $x$ ，则可列方程为（）

A、 $10.8 (1 + x) = 14$ B、 $10.8 (1 + 2 x) = 14$ C、 $10.8 (1 + x)^{2} = 14$ D、 $10.8 (1 + x + x^{2}) = 14$

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9. 如图，四边形 $A B C D$ 是矩形，点 $E$ 在线段 $C B$ 延长线上，连接 $D E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ， $∠ A E D = 2 ∠ C E D$ ，点 $G$ 是 $D F$ 的中点，若 $B E = 1, C D = 3$ ，则 $D F$ 的长为（）

A、8 B、9 C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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10. 如图，平面直角坐标系 xOy 中，平行四边形 $A B C O$ 的点 $A$ 的坐标为 $(3,3 \sqrt{3})$ ，点 $C$ 的坐标为 $(8,0)$ 。现有点 $Q$ 从 $A$ 出发以 2 个单位每秒的速度向 $O$ 运动，有 $P$ 点从 $O$ 出发以 3 个单位每秒的速度向 $C$ 运动，两点同时出发时计时开始， $P$ 到达 $C$ 运动即停止。 $S_{△ O P Q} = \frac{17}{24} \sqrt{3}$ 时， $t$ 的值为 ( )

A、 $\frac{17}{6}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{17}{6}$ 或 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、填空题（本小题有 6 小题, 每小题 4 分, 共 24 分)

11. 一元二次方程x²=4的解是．

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12. 计算： $(- \sqrt{5})^{2} =$ $; \sqrt{(1 - \sqrt{3})^{2}} =$ 。

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13. 某同学对甲、乙两个超市在九月份每天的营业额进行调查，统计后发现：在九月份两个超市每天营业额的平均值相同，方差分别为 $S$ 甲 $^{2} = 7.5, S_{z}^{2} = 2.6$ ，则较稳定的超市是（填（甲”或 “乙”)

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14. 如图，在五边形 $A B C D E$ 中， $∠ A + ∠ E + ∠ D = 330^{\circ}, ∠ A B C$ 和 $∠ B C D$ 的平分线交于点 $O$ ，则 $∠ B O C$ 的度数为°

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15. 如图，在 Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}, C A = C B = 2,, D$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点，以 $A$ ， $B, C, D$ 为顶点的四边形是平行四边形，设此平行四边形的对角线交点为 $O$ ，则 $B O$ 的长为。

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16. 将关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - p x + q = 0$ 变形为 $x^{2} = p x - q$ ，就可以将 $x^{2}$ 表示为关于 $x$ 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 $x^{3} = x \cdot x^{2} = x (p x - q) = \dots$ ，我们将这种方法称为 “降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式. 根据“降次法”，已知： $x^{2} - x - 1 = 0$ ，且 $x > 0$ ，则 $x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 1$ 的值为.

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三、解答题 (本题有 8 小题, 共 66 分)

17. 计算：

(1)、 $\sqrt{3} \times \sqrt{6} \div \sqrt{2}$ ；

(2)、 $\sqrt{12} - \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{1 \frac{1}{3}}$ .

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18. 解一元二次方程：

(1)、 $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ ；

(2)、 $x^{2} + 4 x - 1 = 0$ .

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19. 如图是由 4 个全等的正方形组成的 $L$ 形图案，请按下列要求画图.

(1)、在图案①中添加 1 个正方形，使它成为轴对称图形（不能是中心对称图形）；

(2)、在图案②中添加 1 个正方形，使它成为中心对称图形（不能是轴对称图形）；

(3)、在图案③中改变 1 个正方形的位置，使它既是中心对称图形，又是轴对称图形 (请另行画出示意图).

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20. 近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的绿色出行的方式之一，某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天 50 名出行使用共享单车的情况，并整理成如下统计表.
使用次数（次）
0
1
2
3
4
5
人数（名）
12
14
4
8
8
4

(1)、这 50 名出行学生使用共享单车次数的中位数是次.

(2)、这 50 名出行学生平均每人使用共享单车多少次?

(3)、若该校某天有 1100 名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在 3 次以上（含 3 次) 的学生有多少人?

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21. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C, B D$ 相交于点 $O, O A = 5, E, F$ 为直线 $B D$ 上的两个动点 (点 $E, F$ 始终在平行四边形 $A B C D$ 的外面)，连接 $A E, C E, C F, A F . D E = 2 O D, B F = 2 O B$ .

(1)、求证：四边形 $A F C E$ 为平行四边形；

(2)、若 $C A$ 平分 $∠ B C D, ∠ A E C = 60^{\circ}$ ，求四边形 $A F C E$ 的周长.

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22. 阅读与思考
如图 1 所示的是一座钢铁桥梁，为了计算其中一个三角形钢架的面积，小明想办法测量出三边的长度 $A B = c = 24$ 米， $B C = a = 26$ 米， $A C = b = 28$ 米，如何求三角形 $A B C$ 钢架的面积?下面是甲，乙两位同学的解题思路，分别根据甲、乙两位同学的解题思路求 $△ A B C$ 的面积.

(1)、甲同学：我们知道，已知 $△ A B C$ 的三边长 $a, b, c$ ，设 $p = \frac{1}{2} (a + b + c)$ ，即 $p$ 为 $△ A B C$ 周长的一半，那么利用海伦公式 $S_{△ A B C} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ 就可求出 $△ A B C$ 的面积.

(2)、乙同学：如图 2 ，过点 $A$ 作 $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，设BD=x米，然后用含 $x$ 的代数式表示出 $C D$ ，根据勾股定理，利用 $A D$ 作为“桥梁”建立方程，利用勾股定理求出 $A D$ 的长，再计算 $Δ A B C$ 的面积.

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23. 商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件.

(1)、若某天该商品每件降价 3 元，当天可获利多少元?

(2)、要使商场日盈利达到 2000 元，且为了尽快减少库存，则每件商品应降价多少元?

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24. 十六世纪的法国数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中，发现方程的根与系数之间存在着特殊关系，由于该关系最早由韦达发现，人们把这个关系称之为韦达定理。韦达定理：有一元二次方程形如 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两根分别为 $x_{1}, x_{2}$ ，则有
$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} .$

(1)、 $x_{1}, x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 (k + 1) x + k^{2} + 2 = 0$ 的两实根，且 $(x_{1} + 1) \cdot (x_{2} + 1) = 8$ ，求 $k$ 的值.

(2)、已知： $α, β (α > β)$ 是一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根，设 $s_{1} = α + β$ ， $s_{2} = α^{2} + β^{2}, \dots, s_{n} = α^{n} + β^{n}$ . 根据根的定义，有 $α^{2} - α - 1 = 0, β^{2} - β - 1 = 0$ ，将两式相加，得 $(α^{2} + β^{2}) - (α + β) - 2 = 0$ ，于是，得 $s_{2} - s_{1} - 2 = 0$ .
根据以上信息，解答下列问题：
①直接写出 $s_{1}, s_{2}$ 的值.
②经计算可得： $s_{3} = 4, s_{4} = 7, s_{5} = 11$ ，当 $n \geq 3$ 时，请猜想 $s_{n}, s_{n - 1}, s_{n - 2}$ 之间满足的数量关系，并给出证明.

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使用次数（次）	0	1	2	3	4	5
人数（名）	12	14	4	8	8	4