湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学2024年九年级拔尖创新人才选拔数学试卷

试卷更新日期：2024-07-04 类型：竞赛测试

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一、选择题（共10小题，每题5分，满分50分）

1. 估计 $\sqrt{5} \times (\sqrt{6} - \frac{1}{\sqrt{5}})$ 的值应在（）

A、4和5之间 B、5和6之间 C、6和7之间 D、7和8之间

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2. 如图，点A，B，C，D均在直线 $l$ 上，点 $P$ 在直线 $l$ 外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）

A、4个 B、5个 C、6个 D、7个

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3. 把 $2^{3} \times (0.2)^{- 4}$ 的值用科学记数法表示，结果应该为（）

A、 $0.8 \times 1 0^{3}$ B、 $0.5 \times 1 0^{4}$ C、 $5 \times 1 0^{3}$ D、 $1 \times 1 0^{4}$

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4. 平面上有6个点，其中仅有三个在同一条直线上，过每两个点作一条直线，则一共可以作出的直线的条数为（）．

A、9 B、12 C、13 D、15

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5. 如图，矩形ABCD中， $A B = 3, B C = 4$ ，以点 $B$ 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 $\frac{1}{2} E F$ 长为半径画孤交于点 $P$ ，作射线BP，过点 $C$ 作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{11}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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6. 一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（）

A、中位数是3，众数是2 B、平均数是3，中位数是2 C、平均数是3，方差是2 D、平均数是3，众数是2

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7. 如图，点 $P_{1} ~ P_{8}$ 是 $O$ 的八等分点．若 $P_{1} P_{3} P_{7}$ ，四边形 $P_{3} P_{4} P_{6} P_{7}$ 的周长分别为a，b，则下列说法正确的是（）

A、 $a < b$ B、 $a = b$ C、 $a > b$ D、a，b大小无法比较

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8. 设方程 $x - \frac{4}{x} = 2$ 的两根为 $α, β$ ，则 $α^{3} + 8 β - 2$ 的值为（）

A、-10 B、22 C、24 D、30

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9. 如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，AD，设 $△ A E D, A B E, A C D$ 的面积分别为 $S, S_{1}, S_{2}$ ，若要求出 $S - S_{1} - S_{2}$ 的值，只需知道（）

A、ABE的面积 B、ACD的面积 C、ABC的面积 D、矩形BCDE的面积

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10. 如果一个三角形的面积与周长都被一条直线平分，那么该直线必通过三角形的（）．

A、内心 B、外心 C、重心 D、垂心

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二、填空题（共6小题，每题5分，满分30分）

11. 方程 $| x + 3 | + | x - 1 | = 4$ 的解集为．

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12. 一个凸多边形的每一个内角都等于 $15 0^{°}$ ，则这个凸多边形所有对角线的条数为

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13. 已知实数x，y，z满足 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{1}{z} = 0$ ，则 $\frac{(x + y - z)^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ 的值为.

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14. 如图，在等边 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在BC上， $B D : D C = 2 : 3$ ，把 $△ A B C$ 沿直线MN对折，使点 $A$ 恰好落在 $D$ 点，则 $\frac{A M}{A N} =$ ．

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15. 已知 $A, B$ 是 $y = \frac{1}{x}$ 在第一象限的图像上的两个点，若 $△ A O B$ 是等边三角形，则等边 $△ A O B$ 的面积是．

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16. 已知实数a，b，c满足不等式： $| a | \geq | b + c |, | b | \geq | a + c |, | c | \geq | a + b |$ ，则 $\frac{a (a + b c)}{b c} + \frac{b (b + a c)}{a c} + \frac{c (c + a b)}{a b}$ 的值为．

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三、解答题（共3小题，第17题10分，第18、19题每题15分，满分40分）

17. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数 $y = (4 a + 2) x^{2} + (9 - 6 a) x - 4 a + 4$ （实数 $a$ 为常数）的图象为图象 $T$ ．

(1)、求证：无论 $a$ 取什么实数，图象 $T$ 与 $x$ 轴总有公共点；

(2)、是否存在整数 $a$ ，使图象 $T$ 与 $x$ 轴的公共点中有整点?若存在，求所有整数 $a$ 的值；若不存在，请说明理由．

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18. 如图，在 $O$ 中，直径AB垂直弦CD于点 $E$ ，连接AC，AD，BC，作 $C F ⊥ A D$ 于点 $F$ ，交线段OB于点 $G$ （不与点O，B重合），连接OF.

(1)、若BE=1，求GE的长.

(2)、求证： $B C^{2} = B G \cdot B O$ .

(3)、若FO=FG，猜想 $∠ C A D$ 的度数，并证明你的结论．

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19. 已知三个不同的实数a，b，c满足
${\begin{array}{l} a b c = 1 \\ a^{2} + b^{2} + c^{2} - (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}) = 8 (a + b + c) - 8 (a b + b c + a c) \end{array}$
求 $\frac{1}{a - 1} + \frac{1}{b - 1} + \frac{1}{c - 1}$ 的值．

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