黑龙江省齐齐哈尔市2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-07-04 类型：中考真卷

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一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1. $- \frac{1}{5}$ 的相反数是（）

A、5 B、－5 C、 $\frac{1}{5}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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2. 下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $4 a^{2} + 2 a^{2} = 6 a^{4}$ B、 $5 a \cdot 2 a = 10 a$ C、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ D、 ${(- a^{2})}^{2} = a^{4}$

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4. 将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是（）

A、30° B、40° C、50° D、60°

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5. 如图，若几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的，则该几何体左视图与俯视图的面积和是（）

A、6 B、7 C、8 D、9·

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6. 如果关于x的分式方程 $\frac{1}{x} - \frac{m}{x + 1} = 0$ 的解是负数，那么实数m的取值范围是（）

A、m<1且m≠0 B、m<1 C、m>1 D、m<1且m≠－1

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7. 六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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8. 校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有（）

A、5种 B、4种 C、3种 D、2种

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9. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝12，动点E ， F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF ，以EF为边向下做正方形EFGH ，设点E运动的路程为x(0<x<12)，正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为y，下列图象能反映y与x之间函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + 2 (a \neq 0)$ 的图象与x轴交于(－1，0)， $(x_{1}, 0)$ ，其中 $2 < x_{1} < 3$ ．结合图象给出下列结论：
①ab>0；②a－b＝－2；
③当x>1时，y随x的增大而减小；
④关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + 2 = 0 (a \neq 0)$ 的另一个根是 $- \frac{2}{a}$ ；
⑤b的取值范围为 $1 < b < \frac{4}{3}$ ．其中正确结论的个数是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题(每小题3分，满分21分)

11. 共青团中央发布数据显示：截至2023年12月底，全国共有共青团员7416.7万名．将7416.7万用科学记数法表示为．

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12. 如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M ，交y轴正半轴于点N ，再分别以点M ， N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H ，画射线OH ，若H(2a－1，a＋1)，则a＝．

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13. 在函数 $y = \frac{1}{\sqrt{3 + x}} + \frac{1}{x + 2}$ 中，自变量x的取值范围是．

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14. 若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为cm．

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15. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象经过平行四边形ABCO的顶点A ， OC在x轴上，若点B(－1，3)， ${S_{□}}_{A B C O} = 3$ ，则实数k的值为．

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16. 已知矩形纸片ABCD ， AB＝5，BC＝4，点P在边BC上，连接AP ，将△ABP沿AP所在的直线折叠，点B的对应点为 $B^{'}$ ，把纸片展平，连接 $B B^{'}$ ， $C B^{'}$ ，当 $△ B C B^{'}$ 为直角三角形时，线段CP的长为．

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17. 如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为(0，0)，点B的坐标为(1，0)，点C在第一象限，∠OBC＝120°．将△OBC沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为 $O^{'}$ ，点C的对应点为 $C^{'}$ ， OC与 $O^{'} C^{'}$ 的交点为 $A_{1}$ ，称点 $A_{1}$ 为第一个“花朵”的花心，点 $A_{2}$ 为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，△OBC滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为．

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三、解答题(本题共7道大题，共69分)

18.

(1)、计算： $\sqrt{4} + | - 4 c o s 60 ° | - {(π - 5)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 2}$

(2)、分解因式： $2 a^{3} - 8 a b^{2}$

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19. 解方程： $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ .

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20. 为提高学生的环保意识，某校举行了“爱护环境，人人有责”环保知识竞赛，对收集到的数据进行了整理、描述和分析．
【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．
【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A ， B ， C ， D四组进行整理．
(满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分)如下表：
组别
A
B
C
D
成绩(x/分)
60≤x<70
70≤x<80
80≤x<90
90≤x≤100
人数(人)
m
94
n
16
【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：

(1)、填空：m＝， n＝；

(2)、请补全条形统计图；

(3)、扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是°；

(4)、若竞赛成绩80分以上(含80分)为优秀，请你估计该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人数．

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21. 如图，△ABC内接于⊙O ， AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D ，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB ，点D的对应点为E ，延长EC交BA的延长线于点F ．

(1)、求证：CF是⊙O的切线；

(2)、若 $s i n ∠ C F B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， AB＝8，求图中阴影部分的面积．

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22. 领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：

(1)、a＝米/秒，t＝秒；

(2)、求线段MN所在直线的函数解析式；

(3)、两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米?(直接写出答案即可)

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23. 综合与实践
如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD ，作DE⊥AB交AB的延长线于点E ．

(1)、【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是；

(2)、【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F ，若AB＝2，AC＝6，求△BDF的面积；

(3)、【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点N ，则 $\frac{B N}{B C} =$ ；

(4)、【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB上找点P ，使 $t a n ∠ B C P = \frac{2}{3}$ ，请直接写出线段AP的长度．

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24. 综合与探究(本题满分14分)如图，在平面直角坐标系中，已知直线 $y = \frac{1}{2} x - 2$ 与x轴交于点A ，与y轴交于点C ，过A ， C两点的抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴的另一个交点为点B(－1，0)，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E ，点F ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；

(3)、当EF＝AC时，求点P的坐标；

(4)、在(3)的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，连接NA ， MP ，则NA＋MP的最小值为．

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组别	A	B	C	D
成绩(x/分)	60≤x<70	70≤x<80	80≤x<90	90≤x≤100
人数(人)	m	94	n	16