【培优版】新北师大版(2024)数学七上2.5 有理数的混合运算同步练习

试卷更新日期：2024-07-03 类型：同步测试

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一、选择题

1. 法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了.下面两个图框是用法国“小九九”计算

7 \times 8

和

8 \times 9

的两个示例，且左手伸出的手指数不大于右手伸出的手指数.若用法国的“小九九”计算

7 \times 9

，左、右手依次伸出手指的个数是（）

$7 \times 8 =$ ？

因为两手伸出的手指数的和为 $5$ ，未伸出的手指数的积为 $6$ ，所以 $7 \times 8 = 56.7 \times 8 = 10 \times (2 + 3) + 3 \times 2 = 56$

$8 \times 9 =$ ？

因为两手伸出的手指数的和为 $7$ ，未伸出的手指数的积为 $2$ ，所以 $8 \times 9 = 72.8 \times 9 = 10 \times (3 + 4) + 2 \times 1 = 72$

A、

2

，

4

B、

1

，

4

C、

3

，

4

D、

3

，

1

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2. 如图是节选课本110页上的阅读材料，请根据材料提供的方法求和：

\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2020 \times 2021}

，它的值是（）

上题是利用一系列等式相加消去项达到求和，这种方法不仅限于整数求和，如

$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{1 \times 2}$ ① $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2 \times 3}$ ② $\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{3 \times 4}$ ③ $\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{4 \times 5}$ ④ ……

继续写出上述第n个算式，并把这些算式两边分别相加，会得到： $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n \times (n + 1)}$ ．

A、1 B、

\frac{2020}{2021}

C、

\frac{2019}{2020}

D、

\frac{1}{2021}

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3. 已知有理数 $a ， b ， c$ 满足 $a b c < 0$ ，则 $\frac{a}{| a |} + \frac{| b |}{b} + \frac{c}{| c |} - \frac{| a b c |}{a b c}$ 的值是（）

A、 $\pm 1$ B、0或2 C、 $\pm 2$ D、 $\pm 1$ 或 $\pm 2$

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4. 已知数 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系如图，下列说法： $① a b + a c > 0$ ； $② - a - b + c < 0$ ； $③ \frac{a}{| a |} + \frac{b}{| b |} + \frac{c}{| c |} = - 1$ ； $④ | a - b | + | c + b | - | a - c | = - 2 b$ ； $⑤$ 若 $x$ 为数轴上任意一点，则 $| x - b | + | x - a |$ 的最小值为 $a - b .$ 其中正确结论的个数是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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5. 九宫格起源于中国古代的神秘图案河图和洛书.如图，将 $3$ ， $2$ ， $1$ ， $0$ ， $- 1$ ， $- 2$ ， $- 3$ ， $- 4$ ， $- 5$ 填入九宫格内，使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，则 $a$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 3$ C、 $- 4$ D、 $- 5$

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6. 求 $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + ⋯ + 2^{2021}$ 的值，可令 $S = 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + ⋯ + 2^{2021}$ ，则 $2 S = 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + ⋯ + 2^{2022}$ ，因此 $2 S - S = 2^{2022} - 1$ ．
仿照以上推理，计算出 $1 + 2021 + 202 1^{2} + 202 1^{3} + ⋯ + 202 1^{2021}$ 的值为（）．

A、 $\frac{202 1^{2022} - 1}{2020}$ B、 $\frac{202 1^{2021} - 1}{2020}$ C、 $\frac{202 1^{2022} - 1}{2021}$ D、 $\frac{202 1^{2022} - 1}{2022}$

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7. 如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是7，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去…，第2021次输出的结果是（）

A、3 B、8 C、4 D、2

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8. 若 $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2} ，$ $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ，$ $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} ⋯$ ，则 $\frac{1}{1 \times 3} +$ $\frac{1}{3 \times 5} +$ $\frac{1}{5 \times 7} +$ … $+ \frac{1}{2021 \times 2023} =$ （）

A、 $\frac{2022}{2023}$ B、 $\frac{2021}{2023}$ C、 $\frac{1011}{2023}$ D、 $\frac{4044}{2023}$

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二、填空题

9. 为了求 $1 + 2 + 2^{2} + \dots + 2^{2021}$ 的值，可令 $S = 1 + 2 + 2^{2} + \dots + 2^{2021}$ ，则 $2 S = 2 + 2^{2} + \dots + 2^{2022}$ ，因此 $2 S - S = 2^{2022} - 1$ ，所以 $1 + 2 + 2^{2} + \dots + 2^{2021} = 2^{2022} - 1 ．$ 按照以上推理计算出 $1 + 3^{- 1} + 3^{- 2} + \dots + 3^{- 2021}$ 的值是.

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三、解答题

10. 请先阅读下列一段内容，然后解答问题：
因为： $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ，…… ， $\frac{1}{9 \times 10} = \frac{1}{9} - \frac{1}{10}$ ，

所以： $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{9 \times 10}$

$= (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{9} - \frac{1}{10})$

$= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{9} - \frac{1}{10} = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$

计算：

(1)、 $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{2007 \times 2008}$ ；

(2)、 $\frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \frac{1}{5 \times 7} + \dots + \frac{1}{49 \times 51}$ .

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11. 计算：

(1)、 $(- \frac{1}{2}) + (\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) + (- \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{3}{4}) + (\frac{1}{5} + \frac{2}{5} + \frac{3}{5} + \frac{4}{5}) + . . . + (\frac{1}{55} + \frac{2}{55} + . . . + \frac{54}{55})$

(2)、 $1 \frac{1}{2} - 2 \frac{5}{6} + 3 \frac{1}{12} - 4 \frac{19}{20} + 5 \frac{1}{30} - 6 \frac{41}{42} + 7 \frac{1}{56}$

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12. 将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题．

(1)、在A处的数是正数还是负数？

(2)、负数排在A、B、C、D中的什么位置？

(3)、第2015个数是正数还是负数？排在对应于A、B、C、D中的什么位置？

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13. 小明在计算 $(- 36) \div (- \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{3})$ 时，采用的方法如下：
原式 $= (- 36) \div (- \frac{1}{2}) + (- 36) \div \frac{1}{6} + (- 36) \div (- \frac{1}{3}) = 72 - 216 + 108 = - 36$ ．
请你判断小明的计算过程是否正确，若不正确，请写出正确的计算过程．

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14. 综合与探究
观察以下各式：
（x﹣y）（x+y）＝x²﹣y² ．
（x﹣y）（x²+xy+y²）＝x³﹣y³ ．
（x﹣y）（x³+x²y+xy²+y³）＝x⁴﹣y⁴ ．
（x﹣y）（x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴）＝x⁵﹣y⁵ ．
请回答以下问题：

(1)、填空：（x﹣y）（x⁶+x⁵y+x⁴y²+x³y³+x²y⁴+xy⁵+y⁶）＝．

(2)、若n≥2，求证：6ⁿ﹣2ⁿ一定能被4整除．

(3)、求 $\frac{1 0^{20}}{9} -$ 10¹⁹﹣10¹⁸﹣10¹⁷﹣10¹⁶﹣…﹣10²﹣10﹣1的值．

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15. 在求1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶的值时，小明发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的2倍，于是他设：S=1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶①然后在①式的两边都乘以2，得：2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶+2⁷②；②﹣①得2S﹣S=2⁷﹣1，S=2⁷﹣1，即1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶=2⁷﹣1.

(1)、求1+3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶的值；

(2)、求1+a+a²+a³+…+a²⁰¹³（a≠0且a≠1）的值.

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16. 为迎接2024年的到来，滨海学校七（2）班积极筹办元旦联欢活动．班主任李老师在“飞送外卖”上发现了一款由心悦蛋糕店制作的手工泡芙蛋糕．为增添节日氛围，李老师准备订购40个蛋糕送给同学们．根据以下材料，解决问题．

阅读材料

素材1

订购方式	打包费	配送费
“飞送外卖” $A P P$	每个蛋糕收1元	3元/单

注：订单总价（不含打包费和配送费）满50元起送

素材2

蛋糕店专属“心悦红包”：面值10元，订单总价（不含打包费和配送费）满99元可使用．

注：该专属红包仅有1个．

素材3

红包	购买金额
$\times 4$ 个	10元

“飞送外卖”福利：10元购买一组（4个）“神券红包”，面值随机确定．

注：每个“神券红包”面值相等且可以和“心悦红包”同时使用，但每一个订单只允许使用一个“神券红包”．

(1)、若李老师一次性下单购买40个蛋糕，并使用“心悦红包”，且由外卖配送，总花费多少元？

(2)、（列方程解决问题）为了降低费用，李老师购买了一组“神券红包”，先后4次下单共订购40个蛋糕，并将两种红包全部使用，且由外卖配送，所有费用刚好为504元，请计算出每个“神券红包”的面值．

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17. 根据以下素材，探索完成任务．
素材1：如何规划游玩路线？
温州轨道交通实行里程分段计价票制，起步价2元，可乘坐4km(含4km)，4至28km(含28km)每1元可乘4km(不足4km按1元算)．如：桐岭站到动车南站共5.3km，收费3元．部分站点距离见下图(单位：km)
素材2：一名成年乘客可免费携带一名身高不足1.2米(含1.2米)的儿童乘车，
素材3：小明一家四口将乘坐轻轨出游．小明家住在新桥站附近，家庭成员如下：小明(身高1.5米)、弟弟(身高1.1米)、爸爸、妈妈．
问题解决

(1)、任务1
从新桥站到桐岭站为km，单人单程乘坐需车费元

(2)、任务2
小明一家乘坐轻轨从新桥站到三烊湿地站，需要多少车费．

(3)、任务3
小明一家从新桥站出发，计划共用30元车费出行(往返)，请你为小明一家规划一个尽可能远的游玩站点，并说明理由．

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【培优版】新北师大版(2024)数学七上2.5 有理数的混合运算 同步练习

一、选择题

二、填空题

三、解答题

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