【培优版】北师大版数学八上1.2 一定是直角三角形吗同步练习

试卷更新日期：2024-07-03 类型：同步测试

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一、选择题

1. 能判断 $△ A B C$ 是直角三角形的是（）

A、 $A B = \frac{1}{3}$ ， $A C = \frac{1}{4}$ ， $B C = \frac{1}{5}$ B、 $∠ A : ∠ B : ∠ C = 3 : 4 : 5$ C、 $A B : A C : B C = 12 : 5 : 13$ D、 $∠ A = 30 °$ ， $∠ C = 45 °$

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2. 如果三角形三边长为5，m，n，且 $(m + n) (m - n) = 25$ ，那么此三角形形状为（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等腰直角三角形 D、直角三角形

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3. 如图，ABCD是一张长方形纸片，将AD，BC折起，使A、B两点重合于CD边上的P点，然后压平得折痕EF与GH．若PE＝8cm，PG＝6cm，EG＝10cm，则长方形纸片ABCD的面积为（）

A、105.6cm² B、110.4cm² C、115.2cm² D、124.8cm²

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4. $△ A B C$ 的三边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．下列条件： $① ∠ A = ∠ B - ∠ C$ ； $② a^{2} = (b + c) (b - c)$ ； $③ ∠ A$ ∶ $∠ B$ ∶ $∠ C = 3$ ∶ $4$ ∶ $5$ ； $④ a$ ∶ $b$ ∶ $c = 5$ ∶ $12$ ∶ $13$ ．其中能判断 $△ A B C$ 是直角三角形的个数有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ， $A C = 5$ ，将 $△ A B C$ 折叠，使 $A B$ 边落在 $A C$ 边上，展开后得到折痕 $A D$ ，则 $B D$ 的长度为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{5}{4}$

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6. 下列三角形是直角三角形的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，四边形ABCD中，AB=15，BC=12，CD=16，AD=25，且∠C=90°，则四边形ABCD的面积是（）

A、246 B、296 C、592 D、以上都不对

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8. 如图， $A B = B C = C D = D E = 1$ ，且 $B C ⊥ A B$ ， $C D ⊥ A C$ ， $D E ⊥ A D$ ，则线段 $A E$ 的长为（）

A、1.5 B、2 C、2.5 D、3

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二、填空题

9. 如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入元.

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10. 如图，已知点 A（-1，0）和点B（1，2），在 y 轴正半轴上确定点 P ，使得△ABP 为直角三角形，则满足条件的点 P 的坐标为．

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11. 如图， $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $D E$ 平分 $∠ A D C$ ，交 $A C$ 与点 $E$ ， $E F ⊥ A B$ 于点 $F$ ，且交 $A D$ 于点 $G$ ，若 $A G = 2$ ， $B C = 12$ ，则 $A F =$ ．

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12. 已知等腰 $△ A B C$ 的底边 $B C = 5$ ， D是腰 $A B$ 上一点，且 $C D = 4$ ， $B D = 3$ ，则 $A D$ 的长为.

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13. 如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，点P的速度都是1cm/s，点Q的速度都是2cm/s当点P到达点B时，P、Q两点停止．当t=时，△PBQ是直角三角形．

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三、作图题

14. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形(涂上阴影)．

(1)、在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数．

(2)、在图2、图3中分别画两个不全等的直角三角形，使它的三边长都是无理数．

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四、解答题

15. 如图，D为AB上一点，△ACE≌△BCD，AD²+DB²=DE² ，试判断△ABC的形状，并说明理由．

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16. 如图，在等边 $△ A B C$ 中，P是等边 $△ A B C$ 内一点，且 $P A = 4$ ， $P B = 3$ ， $P C = 5$ ， $P A = P D = A D$ ，求 $∠ A P B$ 的度数．

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17. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $∠ C = 90 °$ ，点E是 $A B$ 上一点， $A B = D E = 5$ ，若 $A D = 3$ ， $B E = 1$ ，求 $C D$ 的长．

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18. 【阅读】
定义：如果一个三角形有两个内角的差为90°，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．

(1)、【理解】
①若 $∠ A = 60 °$ ， $∠ B = 15 °$ ，则 $△ A B C$ “准直角三角形”；（填“是”或“不是”）
②已知 $△ A B C$ 是“准直角三角形”，且 $∠ C > 90 °$ ， $∠ A = 40 °$ ，则 $∠ B$ 的度数为．

(2)、【应用】
如图，在 $△ A B C$ 中，点D在 $A C$ 上，连接 $B D$ ．若 $B D = A D$ ， $A C = 18$ ， $B C = 12$ ， $A D ： C D = 5 ： 13$ ，试说明 $△ A B C$ 是“准直角三角形”．

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19. 课本矩形一节，根据矩形的的性质得到了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
小聪同学画出了如图①所示的一个特殊的直角三角形，其中 $∠ B A C$ 为直角，AD为斜边BC上的中线， $∠ B = 30 °$ ．它证明上面定理思路如下：延长AD至点E，使 $D E = A D$ ，连结BE，再证 $△ A B C ≌ △ B A E$ ，从而就可以证明得到 $A D = \frac{1}{2} B C$ ；

(1)、小聪同学还想借助图②，在任意的 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C$ 为直角，AD为斜边BC上的中线，证明结论 $A D = \frac{1}{2} B C$ ，请你帮助小聪同学完成；

(2)、如图③，在 $△ A B C$ 中 $A D ⊥ B C$ ，垂足为D，如果 $C D = 1$ ， $A D = 2$ ， $B D = 4$ ，求 $△ A B C$ 的中线AE的长度．

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20. 在 $△ A B C$ 中， $B C = a$ ， $A C = b$ ， $A B = c$ ，设 $c$ 为最长边，当 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 时， $△ A B C$ 是直角三角形；当 $a^{2} + b^{2} \neq c^{2}$ 时，利用代数式 $a^{2} + b^{2}$ 和 $c^{2}$ 的大小关系，探究 $△ A B C$ 的形状 $($ 按角分类 $)$ ．

(1)、当 $△ A B C$ 三边分别为6、8、9时， $△ A B C$ 为三角形；当 $△ A B C$ 三边分别为6、8、11时， $△ A B C$ 为三角形．

(2)、猜想，当 $a^{2} + b^{2}$ $c^{2}$ 时， $△ A B C$ 为锐角三角形；当 $a^{2} + b^{2}$ $c^{2}$ 时， $△ A B C$ 为钝角三角形．

(3)、判断当 $a = 2$ ， $b = 4$ 时， $△ A B C$ 的形状，并求出对应的 $c$ 的取值范围．

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二、填空题

三、作图题

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