人教版九年级上学期数学第二十一章质量检测

试卷更新日期：2024-07-03 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（）

A、 $x - 2 y = 1$ B、 $x^{2} + 3 = \frac{2}{x}$ C、 $x^{2} - 2 y + 4 = 0$ D、 $x^{2} - 2 x + 1 = 0$

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2. 一元二次方程x²﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）

A、（x+4）²=17 B、（x﹣4）²=17 C、（x+4）²=15 D、（x﹣4）²=15

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3. 若一元二次方程x²＋mx＋4＝0有两个相等的实数根，则m的值是（）

A、2 B、±2 C、±4 D、±2 $\sqrt{2}$

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4. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 3 x + a = 0$ 有一个根为 $- 2$ ，则另一个根为（）

A、 $5$ B、 $- 1$ C、 $2$ D、 $- 5$

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5. 已知方程 $x^{2} - 5 x + 2 = 0$ 的两个解分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2}$ 的值为（）

A、 $- 7$ B、 $- 3$ C、7 D、3

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6. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x ，根据题意，请列出方程（）

A、 $300 (1 + 2 x) = 500$ B、 $300 (1 + x^{2}) = 500$ C、 $300 {(1 + x)}^{2} = 500$ D、 $500 {(1 - x)}^{2} = 300$

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7. 已知 $α$ ， $β$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 m + 3) x + m^{2} = 0$ 的两个不相等的实数根，且满足 $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = - 1$ ，则 $m$ 的值是（）

A、 $3$ B、 $1$ C、 $3$ 或 $- 1$ D、 $- 3$ 或 $1$

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8. 已知m，n是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 t x + t^{2} - 2 t + 4 = 0$ 的两实数根，则 $(m + 2) (n + 2)$ 的最小值是（）

A、7 B、11 C、12 D、16

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9. 如图，在正方形ABCD中，E是边AD中点，F是边AB上一动点，G是EF延长线上一点，且GF＝EF ．若AD＝4，则EG²+CG²的最小值为（　　）

A、52 B、60 C、68 D、76

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10. 已知关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 与 $c x^{2} + b x + a = 0$ ，下列判断错误的是（）

A、若方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个实数根，则方程 $c x^{2} + b x + a = 0$ 也有两个实数根； B、如果m是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，那么 $\frac{1}{m}$ 是 $c x^{2} + b x + a = 0$ 的一个根； C、如果方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 与 $c x^{2} + b x + a = 0$ 有一个根相等，那么这个根是1； D、如果方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 与 $c x^{2} + b x + a = 0$ 有一个根相等，那么这个根是1或-1.

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 若某商品经过两次连续降价后，由400元下调至256元，则这种商品平均每次降价的百分率是．

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12. 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a²﹣b² ，根据这个规则，方程（x+2）*5=0的解为．

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13. 已知 $x = m$ 是一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的一个根，则代数式 $2024 - m^{2} + m$ 的值是．

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14. 已知： $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + (2 a - 1) x + a^{2} = 0$ 的两个实数根 $(x_{1} + 2) (x_{2} + 2) = 11$ ，则 $a$ 的值为．

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15. 如果关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有（填序号）．
①方程 $x^{2} - x - 2 = 0$ 是“倍根方程”；

②若 $(x - 2) (m x + n) = 0$ 是“倍根方程”，则 $4 m^{2} + 5 m n + n^{2} = 0$ ；

③若 $p ， q$ 满足 $p q = 2$ ，则关于x的方程 $p x^{2} + 3 x + q = 0$ 是“倍根方程”；

④若方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 是“倍根方程”，则必有 $2 b^{2} = 9 a c$ ．

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三、计算题（共16分）

16. 用合适的方法解方程

(1)、 ${(x + 2)}^{2} - 25 = 0$

(2)、 $x^{2} + 4 x - 5 = 0$

(3)、 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$

(4)、 $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$ ．

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四、解答题（共5题，共41分）

17. 先化简，再求值： $(\frac{x^{2} - 2 x + 4}{x - 1} + 2 - x) \div \frac{x^{2} + 4 x + 4}{1 - x}$ ，其中 $x$ 满足 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ ．

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18. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．

(1)、求该品牌头盔销售量的月增长率；

(2)、若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？

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19. 已知：关于x的一元二次方程 $x^{2} - (3 m + 1) x + m^{2} - 2 m + 4 = 0$ ，

(1)、已知 $x = 1$ 是方程的一个根，求m的值及另一个根；

(2)、若以这个方程的两个实数根作为 $△ A B C$ 中BC、AC的边长， $∠ A C B = 90 °$ ，当 $A B = \sqrt{10}$ 时，求此时m的值．

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20. 已知： $▱ A B C D$ 的两邻边 $A B$ ， $A D$ 的长是关于x的方程 $x^{2} - m x + 2 m = 0$ 的两个实数根.

(1)、当m为何值时， $▱ A B C D$ 是菱形？

(2)、若 $A B$ 的长为3，求 $▱ A B C D$ 的周长.

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21. 接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径 $.$ 现有甲、乙两个社区疫苗接种点，已知甲社区接种点平均每天接种疫苗的人数是乙社区接种点平均每天接种疫苗的人数的 $1.25$ 倍，且甲社区接种点完成 $3000$ 人的疫苗接种所需的时间比乙社区接种点完成 $4000$ 人的疫苗接种所需的时间少 $2$ 天．

(1)、求甲、乙两个社区疫苗接种点平均每天接种疫苗的人数；

(2)、一段时间后，乙社区疫苗接种点加大了宣传力度 $.$ 该接种点平均每天接种疫苗的人数比原来平均每天接种疫苗的人数增加了 $25 %$ ，受乙社区疫苗接种点宣传的影响，甲社区疫苗接种点平均每天接种疫苗的人数比原来平均每天接种疫苗的人数减少了 $5 m$ 人，但不低于 $800$ 人，这样乙社区接种点 $(m + 15)$ 天接种疫苗的人数比甲社区接种点 $2 m$ 天接种疫苗的人数多 $6000$ 人，求 $m$ 的值．

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五、实践探究题（共2题，共18分）

22. 阅读材料：若 $m^{2} - 2 m + 2 n^{2} - 8 n + 16 = 0$ ，求m、n的值.
解：∵ $m^{2} - 2 m n + 2 n^{2} - 8 n + 16 = 0$ ， ∴ $(m^{2} - 2 m n + n^{2}) + (n^{2} - 8 n + 16) = 0$ .
∴ ${(m - n)}^{2} + {(n - 4)}^{2} = 0$ ， ∴ $m - n = 0$ ， $n - 4 = 0$ ， ∴ $n = 4$ ， $m = 4$ .
根据你的观察，探究下面的问题：

(1)、已知 $x^{2} + 4 x y + 5 y^{2} + 6 y + 9 = 0$ ，求 $x - y$ 的值.

(2)、已知 $△ A B C$ 的三边长a、b、c都是正整数，且满足 $a^{2} - 4 a + 2 b^{2} - 4 b + 6 = 0$ ，求边c的值.

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23. 阅读下面方法，解答后面的问题：
【阅读理解】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用。

例题：已知x可取任意实数，试求二次三项式 $2 x^{2} - 12 x + 14$ 的取值范围。

解：

$2 x^{2} - 12 x + 14$

$= 2 (x^{2} - 6 x) + 14$

$= 2 (x^{2} - 6 x + 3^{2} - 3^{2}) + 14$

$= 2 [{(x - 3)}^{2} - 9] + 14$

$= 2 {(x - 3)}^{2} - 18 + 14$

$= 2 {(x - 3)}^{2} - 4$

∵x取任何实数，总有 ${(x - 3)}^{2} \geq 0$ ，∴ $2 {(x - 3)}^{2} - 4 \geq - 4$ 。

因此，无论x取任何实数， $2 x^{2} - 12 x + 14$ 的值总是不小于-4的实数。

特别的，当x=3时， $2 x^{2} - 12 x + 14$ 有最小值-4

(1)、【应用1】：已知x可取任何实数，则二次三项式 $3 x^{2} + 6 x - 7$ 的最值情况是（    ）

A、有最大值-10 B、有最小值-10 C、有最大值-7 D、有最小值-7

(2)、【应用2】：某品牌服装进货价为每件50元，商家在销售中发现：当以每件90元销售时，平均每天可售出20件，为了扩大销售量，增加盈利，商家决定采取适当的降价措施。
①将市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天那就可多售出2件，要想平均每天销售这种服装盈利为1200元，我们设降价x元，根据题意列方程得（    ）

A. $(40 - x) (20 + 2 x) = 1200$     B. $(40 - x) (20 + x) = 1200$

C. $(50 - x) (20 + 2 x) = 1200$     D. $(90 - x) (20 + 2 x) = 1200$

②请利用上面【阅读理解】提供的方法解决下面问题：

这家服装专柜为了获得每天的最大盈利，每件服装需要降价多少元？每天的最大盈利又是多少元？

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