【培优版】北师大版数学八上1.1探究勾股定理同步练习

试卷更新日期：2024-07-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 15$ ， $A B = 9$ ．点 $E$ 是边 $A B$ 上一点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 所在直线折叠，使得点 $A$ 恰好落在 $C B$ 边上点 $F$ 处，则 $E F$ 的长是（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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2. 如图，两个全等的矩形AEFG，矩形ABCD如图所示放置．CD所在直线与AE，GF分别交于点H，M．若AB＝3，BC＝ $\sqrt{3}$ ，CH＝MH．则线段MH的长度是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3. 如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处.若BC＝8，BE＝2.则AB²﹣AC²的值为（）

A、4 B、6 C、10 D、16

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4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为（　　）

A、1cm B、 $\frac{4}{3}$ cm C、 $\frac{5}{3}$ cm D、2cm

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， BC的垂直平分线分别交AB ， BC于点D ， E ．若 $A C = 5 ， B C = 12$ ，则 $△ A C D$ 的周长为（）

A、13 B、17 C、18 D、30

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6. 已知a、b为两正数，且 $a + b = 12$ ，则代数式 $\sqrt{4 + a^{2}} + \sqrt{9 + b^{2}}$ 最小值为（）

A、12 B、13 C、14 D、15

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7. 如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B与点D重合，则折痕EF的长为（）

A、14 B、 $\sqrt{192}$ C、 $\frac{25}{2}$ D、15

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8. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）

A、 $\frac{9}{5}$ B、 $\frac{18}{5}$ C、 $\frac{16}{5}$ D、 $\frac{12}{5}$

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二、填空题

9. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $D E$ 平分 $∠ A D C$ ，交 $A C$ 与点 $E$ ， $E F ⊥ A B$ 于点 $F$ ，且交 $A D$ 于点 $G$ ，若 $A G = 1$ ， $B C = 6$ ，则 $A F =$ ．

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10. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上的一动点(不包含A，B两端点)，沿CD折叠，点A落在点A'处，A'C与AB相交于点E若A'D∥BC，则A'E的长为。

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11. 如图，△ABC中，∠A＝90°，角平分线BD、CE交于点I，IF⊥CE交CA于F，下列结论：①∠DIF＝45°；②CF
+BE=BC；③若AB＝3，AC＝4，则 $A F = \frac{3}{4}$ .其中正确的是．

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12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称.若D为AB中点，AB＝13，BC＝10，求CE＝， AF＝.

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13. 在直线上依次摆着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ，则 $S_{1} + S_{2} - S_{3} - S_{4} =$ ．

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三、解答题

14. 如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10点E是CD的中点，求AE的长．

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15. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， D为 $A B$ 中点，点E在直线 $B C$ 上（点E不与点B ， C重合），连接 $D E$ ，过点D作 $D F ⊥ D E$ 交直线 $A C$ 于点F ，连接 $E F$ ．

(1)、如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段 $E F$ 与 $B E$ 的数量关系：．

(2)、如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段 $A F$ ， $E F$ ， $B E$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3)、若 $A C = 5$ ， $B C = 3$ ， $E C = 1$ ，请直接写出线段AF的长．

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16. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 10$ ， $B C = 7$ ， $P$ 为 $A D$ 上一点，将 $△ A B P$ 沿 $B P$ 翻折至 $△ E B P$ ， $B E$ 与 $C D$ 相交于点 $F$ ， $P E$ 与 $C D$ 相交于点 $O$ ，且 $O E = O D$ ，求 $A P$ 的长．

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17. 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点 $O$ 处用一根细绳悬挂一个小球 $A$ ，小球 $A$ 可以自由摆动，如图， $O A$ 表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从 $O A$ 摆到 $O B$ 位置，此时过点 $B$ 作 $B D ⊥ O A$ 于点 $D$ ，当小球摆到 $O C$ 位置时， $O B$ 与 $O C$ 恰好垂直（图中的 $A$ 、 $B$ 、 $O$ 、 $C$ 在同一平面上），过点 $C$ 作 $C E ⊥ O A$ 于点 $E$ ，测得 $O B = 17 c m$ ， $B D = 8 c m$ ．

(1)、试说明： $O E = B D$ ；

(2)、求 $D E$ 的长．

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18. 分析探索题：细心观察如图所示的图形，认真分析各式，然后解答问题．

      $O A_{2}^{2} = {(\sqrt{1})}^{2} + 1 = 2$ ， $S_{1} = \frac{\sqrt{1}}{2}$ ；

      $O A_{3}^{2} = {(\sqrt{2})}^{2} + 1 = 3$ ， $S_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ；

      $O A_{4}^{2} = {(\sqrt{3})}^{2} + 1 = 4$ ， $S_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} ⋯$

(1)、请用含n（n为正整数）的等式表示 $S_{n}$ ；

(2)、推算出 $O A_{10}$ 的值；

(3)、求出 $S_{1}^{2} + S_{2}^{2} + S_{3}^{2} + ⋯ + S_{10}^{2}$ 的值．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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