黑龙江省绥化市 2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-07-02 类型：中考真卷

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一、单项选择题（本题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分）

1. 实数 $- \frac{1}{2025}$ 的相反数是（）

A、2025 B、-2025 C、 $- \frac{1}{2025}$ D、 $\frac{1}{2025}$

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2. 下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A、平行四边形 B、等腰三角形 C、圆 D、菱形

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3. 某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是（）

A、5 个 B、6 个 C、7 个 D、8 个

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4. 若式子 $\sqrt{2 m - 3}$ 有意义，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m ⩽ \frac{2}{3}$ B、 $m ⩾ - \frac{3}{2}$ C、 $m ⩾ \frac{3}{2}$ D、 $m ⩽ - \frac{2}{3}$

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5. 下列计昇中，结果正确的是（）

A、 $(- 3)^{- 2} = \frac{1}{9}$ B、 $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ C、 $\sqrt{9} = \pm 3$ D、 ${(- x^{2} y)}^{3} = x^{6} y^{3}$

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6. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是 6 和 1 ；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是 -2 和 -5 . 则原来的方程是（）

A、 $x^{2} + 6 x + 5 = 0$ B、 $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ C、 $x^{2} - 5 x + 2 = 0$ D、 $x^{2} - 6 x - 10 = 0$

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7. 某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋的销售量如下表：
鞋码
36
37
38
39
40
平均每天销售量/双
10
12
20
12
12
如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列织计量中是的（）

A、平均数 B、中位数 C、众数 D、方差

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8. 一艘货轮在静水中的航速为40km/h，它以该航速沿江顺流航行120km所用时间，与以该航速沿江逆流航行 $80 k m$ 所用时间相等，则江水的流速为（）

A、 $5 k m / h$ B、 $6 k m / h$ C、 $7 k m / h$ D、 $8 k m / h$

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9. 如图，矩形 $O A B C$ 各顶点的坐标分別头 $O (0,0), A (3,0), B (3,2), C (0,2)$ ，以原点 $O$ 为位似中心，将这个矩形拨相似比 $\frac{1}{3}$ 缩小，则顶点 $B$ 在第一象限对应点的坐标是（）

A、 $(9,4)$ B、 $(4,9)$ C、 $(1, \frac{3}{2})$ D、 $(1, \frac{2}{3})$

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10. 下列叙述正确的是（）

A、顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形 B、平分弦的直径垂直于弦 C、物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影 D、相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等

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11. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形， $C D = 5, B D = 8, A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，则 $A E$ 的长是（）

A、 $\frac{24}{5}$ B、6 C、 $\frac{48}{5}$ D、12

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12. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象如图所示，对称轴为直线 $x = - 1$ . 则下列结论中：
① $\frac{b}{c} > 0$
② $a m^{2} + b m ⩽ a - b$ ( $m$ 为任意实数)
③ $3 a + c < 1$
④若 $M (x_{1}, y) 、 N (x_{2}, y)$ 是抛物线上不同的两个点，则 $x_{1} + x_{2} ⩽ - 3$ . 其中正确的结论有（）

A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个

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二、填空题（本题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）

13. 我国疆域辽阔，其中领水面积约为 $370000 {km}^{2}$ ，把 370000 这个数用科学记数法表示为.

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14. 分解因式： $2 m x^{2} - 8 m y^{2} =$

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15. 如图， $A B / / C D, ∠ C = 33^{\circ}, O C = O E$ . 则 $∠ A =$ 。

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16. 如图，用热气球的探测器测一校楼的高度，从热气球上的点 $A$ 测得该楼顶部点 $C$ 的仰角为 $60^{\circ}$ ，测得底部点 $B$ 的俯角为 $45^{\circ}$ ，点 $A$ 与楼 $B C$ 的水平距离 $A D = 50 m$ ，则这栋楼约富度为 $m$ (结果保留根号).

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17. 化简： $\frac{x - y}{x} \div (x - \frac{2 x y - y^{2}}{x}) =$ .

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18. 用一个圆心角为 $126^{\circ}$ ，半径为 $10 c m$ 的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 $c m$

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19. 如图，已知点 $A (- 7,0), B (x, 10), C (- 17, y)$ ，在平行四边形 $A B C O$ 中，它的对角线 $O B$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象相交于点 $D$ ，且 $O D : O B = 1 : 4$ ，则 $k =$ .

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20. 如图，已知 $∠ A O B = 50^{\circ}$ ，点 $P$ 为 $∠ A O B$ 内部一点，点 $M$ 为射线 $O A$ 、点 $N$ 为射线 $O B$ 上的两个动点，当 $△ P M N$ 的周长最小时，则 $∠ M P N =$ 。

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21. 如图，已知 $A_{1} (1, - \sqrt{3}), A_{2} (3, - \sqrt{3}), A_{3} (4,0), A_{4} (6,0), A_{5} (7, \sqrt{3})$ ， $A_{6} (9, \sqrt{3}), A_{7} (10,0), A_{8} (11, - \sqrt{3}) \dots$ ，依此规律，则点 $A_{2024}$ 的坐标为.

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22. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 c m, B C = 8 c m$ ，点 $E$ 在直线 $A D$ 上，且 $D E = 2 c m$ ，则点 $E$ 到矩形对角线所在直线的距离是 $c m$ .

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三、解答题 (本题共 6 个小题, 共 54 分)请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内

23. 已知： $△ A B C$ .

(1)、尺规作图：画出 $△ A B C$ 的重心 $G$ . (保留作图痕迹，不要求写作法和证明)

(2)、在 (1) 的条件下，连接 $A G, B G$ . 已知 $△ A B G$ 的面积等于 $5 {cm}^{2}$ ，则 $△ A B C$ 的面积是 ${c m}^{2}$ .

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24. 为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、休操、诵读书法四项社团活动，为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了一部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选一项社团活动（且只能选择一项），根据调查结果，绘制成如下两幅统计图，请根据统计图中的信息，解答下列问题：

(1)、参加本次问卷调查的学生共有人.

(2)、在扇形统计图中， $A$ 组所占的百分比是 ▲ ，并补全条形统计图.

(3)、端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这 4 个社团中随机抽取 2 个社团汇报展示. 请用树状图法或列表法，求选中的 2 个社团恰好是 $B$ 和 $C$ 的概率.

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25. 为了响应国家提倡的 “节能环保” 号召，某共学电动车公司准备投入资金购买 $A 、 B$ 两种电动车. 若购买 $A$ 种电动车 25 辆、 $B$ 种电动车 80 辆，需投入资金 30.5 万元：若购买 $A$ 种电动车 60 辆、 $B$ 种电动车 120 辆，需投入资金 48 万元. 已知这两种电动车的单价不变.

(1)、求 $A 、 B$ 两种电动车的单价分别是多少元?

(2)、为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买 $A 、 B$ 两种电动车 200 辆，其中 $A$ 种电动车的数量不多于 $B$ 种电动车数量的一半. 当购买 $A$ 种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少渋用是多少元?

(3)、该公司将购买的 $A 、 B$ 两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用 $y$ 元与骑行时间 $x m i n$ 之间的对应关系如下图. 其中 $A$ 种电动车支付费用对应的函数为 $y_{1}$ ； $B$ 种电动车支付费用是 $10 m i n$ 之内，起步价 6 元，对应的函数为 $y_{2}$ . 请根据函数图象信息解决下列问题。
①小刘每天早上需要骑行A种电动车或B种电动车去公司上班，已知两种电动车的平均速度均为300m/min（每次骑行均按平均速度行驶，其他因素忽略不计），小刘家到公司件距离为 $8 k m$ ，那么小刘选择种电动年更省钱(缜定 $A$ 政 B).
②直接写出两利电动车支付带用相差4 元时，x的值。

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26. 如图 1， $O$ 是正方形 $A B C D$ 对角线上一点，以 $O$ 为四心， $O C$ 长为半径的 $⊙ O$ 与 $A D$ 相切于点 $E$ ，与 $A C$ 相交于点 $F$ .

(1)、求证： $A B$ 与 $⊙ O$ 相切.

(2)、若正方形 $A B C D$ 的边长为 $\sqrt{2} + 1$ ，求 $⊙ O$ 的半径.

(3)、如图 2，在 (2) 的条件下，若点 $M$ 是半径 $O C$ 上的一个动点，过点 $M$ 作 $M N ⊥ O C$ 交 $\overset{⏜}{C E}$ 于点 $N$ . 当 $C M : F M = 1 : 4$ 时，求 $C N$ 的长.

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27. 综合与实践
问题情境
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形为操作对象，纸片 $△ A B C$ 和 $△ D E F 满足 ∠ A C B = ∠ E D F = 90^{\circ}, A C = B C = D F = D E = 2 c m$ .下面是创新小红的探究过程

(1)、【操作发现】如图 1，取 $A B$ 的中点 $O$ ，将两张纸片放置在同一平面内，使点 $O$ 与点 $F$ 重合.当旋转 $△ D E F$ 纸片交 $A C$ 边于点 $H$ 、交 $B C$ 边于点 $G$ 时，设 $A H = x (1 < x < 2), B G = y$ ，请你探究出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式，并写出解答过程.

(2)、【问题解决】如图 2，在 (1) 的条件下连接 $G H$ ，发现 $△ C G H$ 的周长是一个定值. 请你写出这个定值，并说明理由.

(3)、【拓展延伸】如图 3，当点 $F$ 在 $A B$ 边上运动（不包括端点 $A 、 B$ )，且始终保持 $∠ A F E = 60^{\circ}$ .请你直接写出 $△ D E F$ 纸片的斜边 $E F$ 与 $△ A B C$ 纸片的直角边所夹锐角的正切值（结果保留根号）。

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28. 综合与探究
如图，在平而直角坐标系中，已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与当线相交于 $A ， B$ 两点，其中点 $A (3,4), B (0,1)$ .

(1)、求该抛物线的函数解析式.

(2)、过点 $B$ 作 $B C / / x$ 轴交抛物线于点 $C$ . 连接 $A C$ ，在拋物线上是否存在点 $P$ 使 $t a n ∠ B C P = \frac{1}{6} t a n ∠ A C B$ . 若存在，请求出满足条件的所有点 $P$ 的坐标：落不存在，请说明理由. (提示：依题意补全图形，并解答)

(3)、将该抛物线向左平移 2 个单位长度得到 $y_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1} (a_{1} \neq 0)$ ，平移后的抛物线与原抛物线相交于点 $D$ ，点 $E$ 为原抛物线对称轴上的一点， $F$ 是平面直角坐标系内的一点，当以点 $B 、 D 、 E 、 F$ 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点 $F$ 的坐标.

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鞋码	36	37	38	39	40
平均每天销售量/双	10	12	20	12	12