四川省广元市2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-07-02 类型：中考真卷

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一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意．每小题3分，共30分）

1. 将 $- 1$ 在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 3$ D、3

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} + a^{3} = a^{6}$ B、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ D、 ${(a b^{2})}^{2} = a^{2} b^{4}$

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3. 一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 在“五·四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析这组数据，下列说法错误的是（）

A、中位数是95 B、方差是3 C、众数是95 D、平均数是94

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5. 如图，已知四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形， $E$ 为 $A D$ 延长线上一点， $∠ A O C = 128 °$ ，则 $∠ C D E$ 等于（）

A、 $64 °$ B、 $60 °$ C、 $54 °$ D、 $52 °$

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6. 如果单项式 $- x^{2 m} y^{3}$ 与单项式 $2 x^{4} y^{2 - n}$ 的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点 $(m, n)$ 在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7. 如图，将 $△ A B C$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A D E$ ，点B ， C的对应点分别为点D ， E ，连接 $C E$ ，点D恰好落在线段 $C E$ 上，若 $C D = 3$ ， $B C = 1$ ，则 $A D$ 的长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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8. 我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（）

A、 $\frac{6750}{3 x} - 50 = \frac{3000}{x}$ B、 $\frac{3000}{3 x} - 50 = \frac{6750}{x}$ C、 $\frac{6750}{3 x} + 50 = \frac{3000}{x}$ D、 $\frac{3000}{3 x} + 50 = \frac{6750}{x}$

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9. 如图①，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点P从点A出发沿A→C→B以1 $c m / s$ 的速度匀速运动至点B ，图②是点P运动时， $△ A B P$ 的面积 $y (c m^{2})$ 随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边 $A B$ 的长为（）

A、5 B、7 C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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10. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 过点 $C (0, - 2)$ 与x轴交点的横坐标分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $- 1 < x_{1} < 0$ ， $2 < x_{2} < 3$ ，则下列结论：
① $a - b + c < 0$ ；
②方程 $a x^{2} + b x + c + 2 = 0$ 有两个不相等的实数根；
③ $a + b > 0$ ；
④ $a > \frac{2}{3}$ ；
⑤ $b^{2} - 4 a c > 4 a^{2}$ ．其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上，每小题4分，共24分）

11. 分解因式： ${(a + 1)}^{2} - 4 a =$ .

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12. 2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是 $1 0^{- 18}$ 秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为秒．

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13. 点F是正五边形 $A B C D E$ 边 $D E$ 的中点，连接 $B F$ 并延长与 $C D$ 延长线交于点G ，则 $∠ B G C$ 的度数为．

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14. 若点 $Q (x, y)$ 满足 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{x y}$ ，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标．

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15. 已知 $y = \sqrt{3} x$ 与 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A (2, m)$ ，点B为y轴上一点，将 $△ O A B$ 沿 $O A$ 翻折，使点B恰好落在 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 上点C处，则B点坐标为．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 5$ ， $t a n ∠ C = 2$ ，则 $A C + \frac{\sqrt{5}}{5} B C$ 的最大值为．

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三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程．共96分）

17. 计算： ${(2024 - π)}^{0} + | \sqrt{3} - 2 | + t a n 60 ° - {(\frac{1}{2})}^{- 2}$ ．

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18. 先化简，再求值： $\frac{a}{a - b} \div \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - 2 a b + b^{2}} - \frac{a - b}{a + b}$ ，其中a ， b满足 $b - 2 a = 0$ ．

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19. 如图，已知矩形 $A B C D$ ．

(1)、尺规作图：作对角线 $A C$ 的垂直平分线，交 $C D$ 于点E ，交 $A B$ 于点F；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、连接 $A E 、 C F$ ．求证：四边形 $A F C E$ 是菱形．

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20. 广元市开展“蜀道少年”选拔活动，旨在让更多的青少年关注蜀道、了解蜀道、热爱蜀道、宣传蜀道，进一步挖掘和传承古蜀道文化、普及蜀道知识．为此某校开展了“蜀道文化知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A： $90 \leq x \leq 100$ ；B： $80 \leq x < 90$ ；C： $70 \leq x < 80$ ；D： $60 \leq x < 70$ ；E： $50 \leq x < 60$ ）．并绘制了如下尚不完整的统计图．
抽取学生成绩等级人数统计表
等级
A
B
C
D
E
人数
m
27
30
12
6
其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是 $120 °$ ．

(1)、样本容量为， $m =$ ；

(2)、全校1200名学生中，请估计A等级的人数；

(3)、全校有5名学生得满分，七年级1人，八年级2人，九年级2人，从这5名学生中任意选择两人在国旗下分享自己与蜀道的故事，请你用画树状图或列表的方法，求这两人来自同一个年级的概率．

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21. 小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角 $α$ 的正弦值与折射角 $β$ 的正弦值的比值 $\frac{s i n α}{s i n β}$ 叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．

(1)、若光从真空射入某介质，入射角为 $α$ ，折射角为 $β$ ，且 $c o s α = \frac{\sqrt{7}}{4}$ ， $β = 30 °$ ，求该介质的折射率；

(2)、现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A ， B ， C ， D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形 $A_{1} D_{1} D_{2} A_{2}$ 对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知 $α = 60 °$ ， $C D = 10 c m$ ，求截面 $A B C D$ 的面积．

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22. 近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表：
价格/类别
短款
长款
进货价（元/件）
80
90
销售价（元/件）
100
120

(1)、该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；

(2)、第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？

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23. 如图，已知反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x}$ 和一次函数 $y_{2} = m x + n$ 的图象相交于点 $A (- 3, a)$ ， $B (a + \frac{3}{2}, - 2)$ 两点，O为坐标原点，连接 $O A$ ， $O B$ ．

(1)、求 $y_{1} = \frac{k}{x}$ 与 $y_{2} = m x + n$ 的解析式；

(2)、当 $y_{1} > y_{2}$ 时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围；

(3)、求 $△ A O B$ 的面积．

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24. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $⊙ O$ 经过A、C两点，交 $A B$ 于点D ， $C O$ 的延长线交 $A B$ 于点F ， $D E ∥ C F$ 交 $B C$ 于点E ．

(1)、求证： $D E$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A C = 4$ ， $t a n ∠ C F D = 2$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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25. 数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 的边 $A B$ 上一点，连接 $C D$ ．

(1)、初步探究
如图2，若 $∠ A C D = ∠ B$ ，求证： $A C^{2} = A D \cdot A B$ ；

(2)、尝试应用
如图3，在（1）的条件下，若点 $D$ 为 $A B$ 中点， $B C = 4$ ，求 $C D$ 的长；

(3)、创新提升
如图4，点 $E$ 为 $C D$ 中点，连接 $B E$ ，若 $∠ C D B = ∠ C B D = 30 °$ ， $∠ A C D = ∠ E B D$ ， $A C = 2 \sqrt{7}$ ，求 $B E$ 的长．

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26. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F： $y = - x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 3, - 1)$ ，与y轴交于点 $B (0, 2)$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、在直线 $A B$ 上方抛物线上有一动点C ，连接 $O C$ 交 $A B$ 于点D ，求 $\frac{C D}{O D}$ 的最大值及此时点C的坐标；

(3)、作抛物线F关于直线 $y = - 1$ 上一点的对称图象 $F^{'}$ ，抛物线F与 $F^{'}$ 只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线 $A B$ 上一点，H为抛物线 $F^{'}$ 对称轴上一点，若以B ， E ， G ， H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标．

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价格/类别	短款	长款
进货价（元/件）	80	90
销售价（元/件）	100	120

等级	A	B	C	D	E
人数	m	27	30	12	6