四川省泸州市江阳区2023-2024学年高一（下）期末数学试卷

试卷更新日期：2024-07-02 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 $U = {1,2, 3,4, 5}$ ， $A = {1,3}$ ， $B = {1,2, 4}$ ，则 $A \cup (∁_{U} B) =$ ( )

A、 ${1,3, 5}$ B、 ${1,3}$ C、 ${1,2, 4}$ D、 ${1,2, 4,5}$

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2. 关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - m x + 1 > 0$ 的解集为 $R$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 4)$ B、 $(- \infty ， - 2) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $[- 2 ， 2]$ D、 $(- 2 ， 2)$

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3. 设非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{c} |$ ， $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$ ，则向量 $\vec{a} 与 \vec{b}$ 的夹角为( )

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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4. 已知 $α \in (0 ， π)$ ，且 $3 cos 2 α - 8 cos α = 5$ ，则 $sin α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{9}$

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5. 函数 $f (x) = c o s (ω x + φ)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的单调递减区间为( )

A、 $(k π - \frac{1}{4}, k π + \frac{3}{4})$ ， $k \in Z$ B、 $(2 k π - \frac{1}{4}, 2 k π + \frac{3}{4})$ ， $k \in Z$ C、 $(2 k - \frac{1}{4}, 2 k + \frac{3}{4})$ ， $k \in Z$ D、 $(k - \frac{1}{4}, k + \frac{3}{4})$ ， $k \in Z$

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6. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为O₁ ， O₂ ，过直线O₁O₂的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）

A、 $12 \sqrt{2} π$ B、12π C、 $8 \sqrt{2} π$ D、 $10 π$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $M$ 为线段 $B C$ 的中点， $G$ 为线段 $A M$ 上一点， $\vec{A G} = 2 \vec{G M}$ ，过点 $G$ 的直线分别交直线 $A B$ ， $A C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点， $\vec{A B} = x \vec{A P} (x > 0)$ ， $\vec{A C} = y \vec{A Q} (y > 0)$ ，则 $\frac{4}{x} + \frac{1}{y + 1}$ 的最小值为 $()$ ．

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $3$ D、 $9$

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8. 将函数 $f (x) = c o s (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到如图所示的奇函数 $g (x)$ 的图象，且 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{4}$ 对称 $.$ 则下列选项不正确的是( )

A、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{2 π}{3}, π]$ 上为增函数 B、 $f (\frac{π}{2}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $f (\frac{1}{2}) > f (0)$ D、 $f (- 1) + f (0) < 0$

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 已知 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 都是复数，下列正确的是( )

A、若 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1} = \pm z_{2}$ B、 $| z_{1} z_{2} | = | z_{1} | | z_{2} |$ C、若 $| z_{1} + z_{2} | = | z_{1} - z_{2} |$ ，则 $z_{1} z_{2} = 0$ D、 $\bar{z_{1} \cdot z_{2}} = \bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}}$

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10. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ .根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（）

A、 $a = 5 ， b = 7 ， c = 8$ ，有唯一解 B、 $b = 18 ， c = 20 ， B = 60 °$ ，无解 C、 $a = 8 ， b = 8 \sqrt{2} ， B = 45 °$ ，有两解 D、 $a = 30 ， b = 25 ， A = 150 °$ ，有唯一解

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11. 在四面体 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = B C = \sqrt{2}, P A = A C = 2$ ，点 $M \in P B$ ， $N \in P C$ ， $Q$ 为 $A C$ 的中点， $Q H ⊥ P C$ ，垂足为 $H$ ，连结 $B H$ ，则正确的结论有( )

A、平面 $B Q H ⊥$ 平面 $P B C$ B、若平面 $A M N ⊥$ 平面 $P B C$ ，则一定有 $A M ⊥ P B$ C、若平面 $A M N ⊥$ 平面 $P B C$ ，则一定有 $A N ⊥ P C$ D、点 $R$ 是平面 $P B C$ 上的动点， $A R = \sqrt{2}$ ，则当直线 $A R$ 与 $B C$ 所成角最小时，点 $R$ 到直线 $A B$ 的距离为 $\frac{\sqrt{10}}{3}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 如图，已知由斜二测画法得到的水平放置的四边形 $A B C D$ 的直观图是一个边长为 $1$ 的正方形，则原图形的面积为．

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13. 已知 $t a n (α - \frac{π}{4}) = 2$ ，则 $5 s i n 2 α + {s i n}^{2} α =$ ．

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14. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (1 - a) x + 1, x < a \\ x + \frac{4}{x} - 4, x \geq a \end{array}$ ，若 $f (x)$ 存在最小值，则 $a$ 的取值范围．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 已知 $\vec{a} = (- 1,0)$ ， $\vec{b} = (2,1)$ ．

(1)、若 $\vec{A B} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{B C} = \vec{a} + m \vec{b}$ 且 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点共线，求 $m$ 的值．

(2)、当实数 $k$ 为何值时， $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 垂直？

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16. 已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P $(- \frac{3}{5} ， - \frac{4}{5})$ .

(1)、求sin(α＋π)的值；

(2)、若角β满足sin(α＋β)＝ $\frac{5}{13}$ ，求cos β的值.

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17. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{3}) + c o s (2 x + \frac{π}{6}) - 2 s i n x c o s x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及对称轴方程；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的 $2$ 倍，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $y = g (x)$ 在 $[0,2 π]$ 上的单调递减区间．

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18. 在 $△ A B C$ 中， $\sqrt{3} s i n C + c o s C = \frac{s i n B + s i n C}{s i n A}$ .

(1)、求A；

(2)、若 $△ A B C$ 的内切圆半径 $r = 2$ ，求 $A B + A C$ 的最小值.

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19. 如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中， $B C ⊥$ 平面 $A B E$ ， $B C / / A D$ ，且 $A D = 2 B C = 2$ ， $F$ 是 $D E$ 的中点．

(1)、证明： $D A ⊥ C F$ ；

(2)、若 $B A = B E = 2$ ，直线 $C F$ 与直线 $D B$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ．
(ⅰ)求直线 $D E$ 与平面 $A B E$ 所成角；
(ⅱ)求二面角 $E - D C - B$ 的余弦值．

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