湖北省咸宁市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

试卷更新日期：2024-07-02 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知i为虚数单位，若 $z = \frac{2 i}{1 + i}$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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2. 已知随机变量X服从正态分布 $N (2, δ^{2}), P (x > 1) = 0.7$ ，则 $P (2 < x < 3) =$ （）

A、0.2 B、0.4 C、0.6 D、0.7

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3. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} + \vec{a} = (1, m), \vec{a} - \vec{b} = (3, 1)$ ．若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则实数 $m =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、3 D、 $- 3$

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4. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - 3^{- x}$ ，则不等式 $f (x^{2}) < f (2 x + 3)$ 的解集为（）

A、 $(- 1, 3)$ B、 $(- \infty, - 1) ∪ (3, + \infty)$ C、 $(- 3, 1)$ D、 $(- \infty, - 3) ∪ (1, + \infty)$

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5. 一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的的上四分位数为（）

A、5 B、5.5 C、14 D、14.5

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6. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知向量 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 关于x轴对称，向量 $\vec{a} = (0, 1)$ 若满足 ${\vec{O A}}^{2} + \vec{a} \cdot \vec{A B} = 0$ 的点A的轨迹为E ，则（）

A、E是一条垂直于x轴的直线 B、E是一个半径为1的圆 C、E是两条平行直线 D、E是椭圆

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7. 由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为 ${a_{n}}$ ，即 $a_{1} = 0 ， a_{2} = 2 ， a_{3} = 4 ， ⋯$ ，若 $a_{n} = 2024$ ，则 $n =$ （）

A、34 B、33 C、32 D、30

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8. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 的直线与双曲线 $E$ 的右支交于 $A ， B$ 两点，若 $| A B | = | A F_{1} |$ ，且双曲线 $E$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，则 $c o s ∠ B A F_{1} =$ （）

A、 $- \frac{3 \sqrt{7}}{8}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $- \frac{1}{8}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知A ， B为随机事件， $P (A) = 0.5, P (B) = 0.2$ ，则下列结论正确的有（）

A、若A ， B为互斥事件，则 $P (A + B) = 0.7$ B、若 $P (B ∣ A) = 0.1$ ，则 $P (A B) = 0.05$ C、若A ， B为互斥事件，则 $P (\bar{A} + \bar{B}) = 0.3$ D、若A ， B相互独立，则 $P (A + B) = 0.6$

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10. 牛顿 $(1643 - 1727)$ 在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种数值解法——牛顿法，用“作切线”的方法求函数零点．如图，在横坐标为 $x_{1}$ 的点处作 $f (x)$ 的切线，切线与x轴交点的横坐标为 $x_{2}$ ；用 $x_{2}$ 代替 $x_{1}$ 重复上面的过程得到 $x_{3}$ ；一直下去，得到数列 ${x_{n}}$ ，叫作牛顿数列．若函数 $f (x) = x^{2} - x - 6, a_{n} = l n \frac{x_{n} + 2}{x_{n} - 3}$ 且 $a_{1} = 1, x_{n} > 3$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})}$ B、数列 ${a_{n}}$ 是递减数列 C、数列 ${a_{n}}$ 是等比数列 D、 $S_{2024} = 2^{2023} - 1$

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11. 把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱 $O O^{'}$ 中椭圆长轴 $A B = 4$ ，短轴 $C D = 2 \sqrt{3}, F_{1}, F_{2}$ 为下底面椭圆的左右焦点， ${F^{'}}_{2}$ 为上底面椭圆的右焦点， $A A^{'} = 4, P$ 为线段 $B B^{'}$ 上的动点，E为线段 $A^{'} B^{'}$ 上的动点， $M N$ 为过点 $F_{2}$ 的下底面的一条动弦（不与 $A B$ 重合），则下列选项正确的是（）

A、当 $F_{1} {F^{'}}_{2} ∥$ 平面 $P M N$ 时，P为 $B B^{'}$ 的中点 B、三棱锥 ${F^{'}}_{2} - F_{2} C D$ 外接球的表面积为 $8 π$ C、若点Q是下底面椭圆上的动点， $Q^{'}$ 是点Q在上底面的射影，且 $Q^{'} F_{1}, Q^{'} F_{2}$ 与下底面所成的角分别为 $α, β$ ，则 $t a n (α + β)$ 的最大值为 $- \frac{16}{13}$ D、三棱锥 $E - P M N$ 体积的最大值为8

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知 ${(x^{2} + \frac{1}{x^{3}})}^{n}$ 的展开式中二项式系数和为32，则展开式中的常数项为．

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13. 已知定义在区间 $[0, π]$ 上的函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + \frac{2 π}{3}) (ω > 0)$ 的值域为 $[- 2, \sqrt{3}]$ ，则 $ω$ 的取值范围为．

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14. 2024年奥运会将于7月26日~8月11日在法国巴黎举行，而承办2024巴黎奥运会足球项目的是著名的巴黎王子公园球场（如图），足球场的B底线宽 $A B = 72$ 码，球门宽 $E F = 8$ 码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P ，使得 $∠ E P F$ 最大，这时候点P就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O处 $(O A = A B, O A ⊥ A B)$ 时，根据场上形势判断，有 $\vec{O A} 、 \vec{O B}$ 两条进攻线路可供选择，若选择线路 $\vec{O A}$ ，则甲带球码时，到达最佳射门位置；若选择线路 $\vec{O B}$ ，则甲带球码时，到达最佳射门位置．

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四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边为 $a, b, c, a s i n B = - \sqrt{3} b c o s A$ ，角A的平分线交边 $B C$ 于点D ，且 $A D = 1$ ．

(1)、求A的值；

(2)、若 $B C = 2 \sqrt{5}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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16. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A B ⊥ A D, A B ∥ C D, C D = 2 A B$ ．

(1)、证明： $B_{1} C ∥$ 平面 $A_{1} B D_{1}$ ；

(2)、若 $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D, A B = A A_{1} = 1, A D = 2$ ，求二面角 $A_{1} - B D_{1} - D$ 的正弦值．

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17. 三月“与辉同行”携手湖北文旅，云游湖北省博物馆、赏东湖樱花园、夜上黄鹤楼……一路走来，讲述关于湖北的历史人文、诗词歌赋，为广大网友带来一场荆楚文化的饕餮盛宴．湖北文旅因此火爆出圈，湖北各地相继迎来了旅游热潮．咸宁的大幕东源花谷，向阳湖花海的美景、美食、文化和人情也吸引了大批游客纷至沓来，现对3月中下旬至4月上旬的大幕东源花谷赏花节会部分游客做问卷调查，其中75%的游客计划只游览大幕东源花谷，另外25%的游客计划既游览大幕东源花谷又参加“向阳花田”音乐会．每位游客若只游览大幕东源花谷，则得到1份文旅纪念品；若既游览大幕东源花谷又参加“向阳花田”音乐会，则获得2份文旅纪念品．假设每位来大幕东源花谷游览的游客与是否参加“向阳花田”音乐会是相互独立的，用频率估计概率．

(1)、从大幕东源花谷的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X ，求X的分布列及数学期望；

(2)、记n个游客得到文旅纪念品的总个数恰为 $n + 1$ 个的概率为 $a_{n}$ ，求 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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18. 已知 $A (2, 0), B (- 2, 0), P$ 为平面上的一个动点．设直线 $A P, B P$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，且满足 $k_{1} \cdot k_{2} = - \frac{3}{4}$ ．记P的轨迹为曲线 $Γ$ ．

(1)、求 $Γ$ 的轨迹方程；

(2)、直线 $P A, P B$ 分别交动直线 $x = t$ 于点C、D ，过点C作 $P B$ 的垂线交x轴于点 $H, \vec{H C} \cdot \vec{H D}$ 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．

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19. 罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的.它的表达如下：如果函数 $f (x)$ 满足在闭区间 $[a, b]$ 连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，且 $f (a) = f (b)$ ，那么在区间 $(a, b)$ 内至少存在一点m，使得 $f^{'} (m) = 0$ .

(1)、运用罗尔定理证明：若函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 连续，在区间 $(a, b)$ 上可导，则存在 $x_{0} \in (a, b)$ ，使得 $f^{'} (x_{0}) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ .

(2)、已知函数 $f (x) = x l n x, g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - b x + 1$ ，若对于区间 $(1, 2)$ 内任意两个不相等的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | > | g (x_{1}) - g (x_{2}) |$ 成立，求实数b的取值范围.

(3)、证明：当 $p > 1$ ， $n \geq 2$ 时，有 $\frac{1}{n^{p}} < \frac{1}{p - 1} [\frac{1}{(n - 1)^{p - 1}} - \frac{1}{n^{p - 1}}]$ .

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