广东省江门市新会一中2023-2024学年高二（下）期末数学试卷

试卷更新日期：2024-07-02 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知 $ξ$ 的分布列为

$ξ$

$1$

$2$

$3$

$4$

$P$

$\frac{1}{6}$

$\frac{1}{6}$

$\frac{1}{3}$

$m$
设 $η = 2 ξ - 5$ ，则 $E (η) =$ ( )

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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2. 已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l$ ： $y = k x + m$ ，若当 $k$ 的值发生变化时，直线被圆 $C$ 所截的弦长的最小值为 $2$ ，则 $m$ 的取值为( )

A、 $\pm 2$ B、 $\pm \sqrt{2}$ C、 $\pm \sqrt{3}$ D、 $\pm 3$

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ，等比数列 ${b_{n}}$ ，满足 $a_{7} + a_{9} = 4$ ， $b_{2} b_{6} b_{10} = 27$ ，则 $\frac{a_{3} + a_{8} + a_{13}}{b_{4} b_{8} + 3} =$ ( )

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $2$ D、 $4$

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4. 若曲线 $y = \frac{l n x + a}{x}$ 在点 $(1, a)$ 处的切线与直线 $l$ ： $x + y + 5 = 0$ 平行，则实数 $a =$ ( )

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $1$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $2$

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5. 今天是星期天，则 $13^{7}$ 天后是( )

A、星期五 B、星期六 C、星期天 D、星期一

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6. 某单位五一放假，安排甲、乙等五人值班五天，每人值班一天 $.$ 若甲、乙都至少需要三天的连休假期，则不同的值班安排共有( )

A、 $60$ 种 B、 $66$ 种 C、 $72$ 种 D、 $78$ 种

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7. 袋中装有 $10$ 个球，其中 $3$ 个黑球、 $7$ 个白球，从中依次取两球 $($ 不放回 $)$ ，则第二次取到的是黑球的概率为( )

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{7}{10}$

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{e^{x}}$ ，下列关于 $f (x)$ 的四个命题，其中是假命题是( )

A、函数 $f (x)$ 在 $[0,1]$ 上是增函数 B、函数 $f (x)$ 的最小值为 $0$ C、如果 $x \in [0, t]$ 时， $f (x)_{m a x} = \frac{4}{e^{2}}$ ，则 $t$ 的最小值为 $2$ D、函数 $f (x)$ 有 $2$ 个零点

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 给出下列命题，其中正确的命题有( )

A、两个变量的线性相关性越强，则相关系数 $r$ 越大 B、在 $(3 x - \frac{1}{\sqrt{x}})^{10}$ 的展开式中，各项系数和与所有项二项式系数和相等 C、将 $4$ 名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派 $1$ 人，则共有 $14$ 种不同的分派方法 D、公共汽车上有 $10$ 位乘客，沿途 $5$ 个车站，乘客下车的可能方式有 $10^{5}$ 种

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10. 已知双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{2} = 1 (a > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与双曲线 $E$ 的右支相交于 $P$ ， $Q$ 两点，则( )

A、若 $E$ 的两条渐近线相互垂直，则 $a = \sqrt{2}$ B、若 $E$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则 $E$ 的实轴长为 $1$ C、若 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$ ，则 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | = 4$ D、当 $a$ 变化时， $△ F_{1} P Q$ 周长的最小值为 $8 \sqrt{2}$

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11. 如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 、 $F$ 分别为棱 $A_{1} D_{1}$ 、 $A A_{1}$ 的中点， $G$ 为线段 $B_{1} C$ 上一个动点，则( )

A、三棱锥 $A_{1} - E F G$ 的体积为定值 B、存在点 $G$ ，使平面 $E F G / /$ 平面 $B D C_{1}$ C、当点 $G$ 与 $B_{1}$ 重合时，二面角 $G - E F - A_{1}$ 的正切值为 $2 \sqrt{2}$ D、当点 $G$ 为 $B_{1} C$ 中点时，平面 $E F G$ 截正方体所得截面的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ 的左、右焦点， $P$ 为椭圆上一点且 $| P F_{1} | = 2 | P F_{2} |$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为．

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13. 甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制 $.$ 如果每局比赛中甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为．

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14. 已知 $a \in N^{*}$ ，函数 $f (x) = e^{3 x} - x^{a} > 0$ 恒成立，则 $a$ 的最大值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 某班级有 $60$ 名同学参加了某次考试，从中随机抽选出 $5$ 名同学，他们的数学成绩 $x$ 与物理成绩 $y$ 如下表：
数学成绩 $x$
$140$
$130$
$120$
$110$
$100$
物理成绩 $y$
$110$
$90$
$100$
$80$
$70$
数据表明 $y$ 与 $x$ 之间有较强的线性相关性．
参考公式及数据： $\overset{\hat{}}{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\overset{\hat{}}{a} = \bar{y} - \overset{\hat{}}{b} \bar{x}$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 54900$ ， $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x})^{2} = 1000$ ，
$χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
下表是 $χ^{2}$ 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．

$α$

$0.1$

$0.05$

$0.01$

$0.005$

$0.001$

$x_{α}$

$2.706$

$3.841$

$6.635$

$7.879$

$10.828$

(1)、利用表中数据，求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并预测该班某同学的数学成绩为 $90$ 分时的物理成绩；

(2)、在本次考试中，规定数学成绩达到 $125$ 分为数学优秀，物理成绩达到 $100$ 分为物理优秀 $.$ 若该班的数学优秀率与物理优秀率分别为 $50 %$ 和 $60 %$ ，且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有 $6$ 人，请你完成下面的 $2 \times 2$ 列联表，依据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？
数学成绩
物理成绩
合计
物理优秀
物理不优秀
数学优秀
数学不优秀
合计

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16. 已知 ${a_{n}}$ 数列的前 $n$ 项和为 $S_{n}, S_{n} = 2 a_{n} - 3 n (n \in N^{*})$ ．

(1)、证明：数列 ${a_{n} + 3}$ 是等比数列，并求出数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n}{3} (a_{n} + 3)$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(3)、数列 ${a_{n}}$ 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？ $($ 直接写出结论，不要求证明 $)$ ．

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17. 如图所示，在三棱锥 $P - A B C$ 中，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ ．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $P A = A B = 6$ ， $B C = 3$ ，在线段 $P C$ 上（不含端点），是否存在点 $D$ ，使得二面角 $B - A D - C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ，若存在，确定点 $D$ 的位置；若不存在，说明理由．

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18. 面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节 $.$ 某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答 $3$ 个问题，第一题考查对公司的了解，答对得 $2$ 分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得 $4$ 分，答错不得分．
附：若 $X \sim N (μ, σ^{2}) (σ > 0)$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) \approx 0.683$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) \approx 0.954$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) \approx 0.997$ ．

(1)、若一共有 $100$ 人应聘，他们的笔试得分 $X$ 服从正态分布 $N (60,144)$ ，规定 $X ⩾ 72$ 为达标，求进入面试环节的人数大约为多少 $($ 结果四舍五入保留整数 $)$ ；

(2)、某进入面试的应聘者第一题答对的概率为 $\frac{2}{3}$ ，后两题答对的概率均为 $\frac{4}{5}$ ，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩 $Y$ 的分布列和数学期望．

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19. 已知函数 $f (x) = l n (1 + x) - \frac{a x}{x + 1} (a > 0)$ ．

(1)、若 $x = 1$ 是函数 $f (x)$ 的一个极值点，求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 在 $[0, + \infty)$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、证明： $(\frac{2017}{2016})^{2017} > e (e$ 为自然对数的底数 $)$ ．

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$ξ$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$	$m$

数学成绩 $x$	$140$	$130$	$120$	$110$	$100$
物理成绩 $y$	$110$	$90$	$100$	$80$	$70$

$α$	$0.1$	$0.05$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$x_{α}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

数学成绩	物理成绩		合计
数学成绩	物理优秀	物理不优秀	合计
数学优秀
数学不优秀
合计