广西平果市铝城中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

试卷更新日期：2024-07-02 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知 $i$ 是虚数单位， $a \in R$ ，则“ ${(a + i)}^{2} = 2 i$ ”是“ $a^{2} = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
2. 在 $△ A B C$ 中， $c^{2} = b c c o s A + a c c o s B + a b c o s C$ ，则此三角形必是（）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、钝角三角形

查看试题解析
3. 在△ABC中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，已知 $a = 2$ ， $b + c = 2 \sqrt{3}$ ，且△ABC的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{6}}{4}$

查看试题解析
4. 圆台的一个底面周长为另一个底面周长的2倍，母线长为4，圆台侧面积为36 $π$ ，则圆台较小底面半径为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

查看试题解析
5. 地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成，质坚､耐压､耐磨､防潮．地板砖品种非常多，图案也多种多样．如图是某公司大厅的地板砖铺设方式，地板砖有正方形与正三角形两种形状，且它们的边长都相同，若 $\vec{O D} = \vec{m}, \vec{O I} = \vec{n},$ ，则 $\vec{A F} =$ （）

A、 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3} + 1) \vec{m} + (\frac{4 \sqrt{3}}{3} + 1) \vec{n}$ B、 $(\frac{4 \sqrt{3}}{3} + 1) \vec{m} + (\frac{2 \sqrt{3}}{3} + 1) \vec{n}$ C、 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3} + 1) \vec{m} + (\frac{4 \sqrt{3}}{3} - 1) \vec{n}$ D、 $(\frac{4 \sqrt{3}}{3} + 1) \vec{m} + (\frac{2 \sqrt{3}}{3} - 1) \vec{n}$

查看试题解析
6. 一个电路如图所示，A，B，C，D为4个开关，其闭合的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且是相互独立的，则灯亮的概率为（）

A、 $\frac{76}{81}$ B、 $\frac{77}{81}$ C、 $\frac{40}{81}$ D、 $\frac{4}{81}$

查看试题解析
7. 化橘红具有散寒燥湿，利气消疾，止咳、健脾消食等功效．如图，小明为了测量一棵老橘红树的高度，他选取与树根部 $C$ 在同一水平面的 $A$ 、 $B$ 两点，在 $A$ 点测得树根部 $C$ 在西偏北 $30 °$ 的方向上，沿正西方向步行20米到 $B$ 处，测得树根部 $C$ 在西偏北 $75 °$ 的方向上，树梢 $D$ 的仰角为 $30 °$ ，则树的高度是（）

A、 $10 \sqrt{6}$ 米 B、 $10 \sqrt{3}$ 米 C、 $\frac{10 \sqrt{3}}{3}$ 米 D、 $\frac{10 \sqrt{6}}{3}$ 米

查看试题解析
8. 已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ， $A B$ 为底面直径， $∠ A P B = 120 °$ ， $P A = 2$ ，点C在底面圆周上，且二面角 $P - A C - O$ 为 $45 °$ ，则（）

A、该圆锥体积为 $3 π$ B、该圆锥的侧面积为 $2 π$ C、 $A C = 3$ D、 $△ P A C$ 的面积为2

查看试题解析

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分。

9. 如果平面向量 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，那么下列结论中正确的是（）

A、 $\vec{a} / / \vec{b}$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(1, 1)$ D、 $| \vec{a} | = \sqrt{2} | \vec{b} |$

查看试题解析
10. 知一组数据： $2, 3, 4, 6, m$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $m = 7$ ，则平均数为4.4 B、若 $m = 5$ ，则第25百分位数为3 C、若 $m = 6$ ，则中位数为4 D、若 $m = 10$ ，则方差为40

查看试题解析
11. 已知矩形 $A B C D$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $B C = 1$ ，将 $△ A D C$ 沿对角线 $A C$ 进行翻折，得到三棱锥 $D - A B C$ ，则在翻折的过程中有下列结论：（）

A、三棱锥 $D - A B C$ 的体积最大值为 $\frac{1}{4}$ B、三棱锥 $D - A B C$ 的外接球体积不变 C、异面直线 $A B$ 与 $C D$ 所成角的最大值为 $9 0^{∘}$ D、 $A D$ 与平面 $A B C$ 所成角的最大值为 $3 0^{∘}$

查看试题解析

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 已知向量 $\vec{m}, \vec{n}$ ，满足 $| \vec{m} | = 4$ ， $| \vec{n} | = 6$ ， $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角为 $60 °$ ，则 $| \vec{m} + \vec{n} | =$ ．

查看试题解析
13. 如图， $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 是平面四边形 $O A B C$ 的直观图，若 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 是边长为2的正方形，则四边形 $O A B C$ 的周长为.

查看试题解析
14. 已知某运动员每次投篮命中的概率是40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中， $0, 5, 6, 7, 8, 9$ 表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：204 978 171 935 263 321 947 468 579 682，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为．

查看试题解析

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. 有 $3$ 个相同的球，分别标有数字 $1 ， 2 ， 3$ ，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用 $(x ， y)$ 表示试验的样本点，其中 $x$ 表示第一次取出的基本结果， $y$ 表示第二次取出的基本结果．

(1)、写出这个试验的样本空间 $Ω$ ；

(2)、用 $A$ 表示事件“第一次取出的球的数字是1”；用 $B$ 表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，求证： $P (A B) = P (A) P (B)$ ．

查看试题解析
16. 在① $\vec{m} ∥ \vec{n}$ ；② $\vec{m} \cdot \vec{n} = 2 a c o s B$ 两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并给出解答.
在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, \vec{m} = (c o s A, c o s B), \vec{n} = (b, a)$ ， ▲ .

(1)、若 $C = \frac{π}{3}$ ，求A；

(2)、已知 $c = 2, c o s C = \frac{4}{5}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

查看试题解析
17. 如图，已知四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $E$ 为侧棱 $S C$ 的中点.

(1)、求证： $S A / /$ 平面 $E D B$ ；

(2)、设平面 $S A B ∩$ 平面 $S C D = l$ ，求证： $A B / / l$ .

查看试题解析
18. 暑假期间，某中学为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了200名学生并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，将其整理后分为5组画出频率分布直方图如图所示，但是第一、五两组数据丢失，只知道第五组的频率是第一组的2倍.

(1)、求第一组、第五组的频率并补全频率分布直方图（用阴影涂黑）；

(2)、现从第四、五组中按分层抽样方法抽取6人参加校古诗词比赛，经过比赛后，第四组得分的平均数 $\bar{x} = 8$ ，方差 $s^{2} = 2$ ，第五组得分的平均数 $\bar{y} = 5$ ，方差 $t^{2} = 1$ ，则这6人得分的平均数 $\bar{a}$ 和方差 $b^{2}$ 分别为多少（方差精确到0.01）？

查看试题解析
19. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为直角梯形， $A D / / B C$ ， $∠ B C D = 90 °$ ， $P A = P B$ ， $P C = P D$ ．

(1)、证明： $C D$ 与平面 $P A D$ 不垂直；

(2)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(3)、如果 $C D = A D + B C$ ，二面角 $P - B C - A$ 等于 $60 °$ ，求二面角 $P - C D - A$ 的大小．

查看试题解析