浙江省嘉兴市2023-2024学年高二下学期6月期末检测数学试题

试卷更新日期：2024-07-02 类型：期末考试

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一、､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合 $A = {x ∣ x (x - 2) ⩽ 0}, B = {1, 2, 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${0, 1}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${1, 2, 3}$

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2. $(x - 2)^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A、-80 B、-40 C、10 D、40

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3. 已知 $α, β$ 是两个不同的平面，直线 $m \subset α$ ，则“ $α$ $∥$ $β$ ”是“ $m$ $∥$ $β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 下列说法错误的是（）

A、若样本相关系数 $r$ 的绝对值越接近于1，则两变量的线性相关程度越强 B、一组数据 $1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 8$ 的第80百分位数为7 C、由样本点 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), ⋯, (x_{n}, y_{n})$ 得到回归直线，则这些样本点都在该回归直线上 D、若 $P (A) = 0.2, P (B) = 0.6, P (A B) = 0.12$ ，则事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立

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5. 已知非零向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 满足 $| \vec{A B} + \vec{A C} | = | \vec{A B} - \vec{A C} |$ ，且 $\frac{\vec{B A}}{| \vec{B A} |} \cdot \frac{\vec{B C}}{| \vec{B C} |} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $\vec{C A}$ 在 $\vec{C B}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{4} \vec{C B}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{C B}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{C A}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{C A}$

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6. 由甲､乙､丙三个地区的学生参加的某项竞赛，已知这三个地区参加竞赛人数的比为5：3：2，且甲､乙､丙三个地区分别有 $m %, (m + 1) %, (m + 2) % (m > \frac{3}{2})$ 的学生竞赛成绩优秀.若小嘉同学成绩优秀，则他来自下列哪个地区的可能性最大（）

A、甲地区 B、乙地区 C、丙地区 D、不能确定

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7. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n (ω x - \frac{π}{12}) - s i n (ω x + \frac{5 π}{12}) (ω > 0)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[- \sqrt{2}, 2]$ ，则实数 $ω$ 的取值可以是（）

A、1 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、4

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8. 已知函数 $f (x) = 2 x e^{2 x}, g (x) = - \frac{1}{x} l n x$ ，若 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = t (t > 0)$ ，则 $\frac{2 x_{1}}{x_{2}} \cdot l n t$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{1}{2 e}$ B、 $- \frac{1}{e}$ C、 $- \frac{2}{e}$ D、 $- \frac{4}{e}$

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二、､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知复数 $z = \frac{5}{2 + i}$ （其中 $i$ 是虚数单位），则下列说法正确的是（）

A、 $z$ 的虚部为 $- i$ B、 $z \cdot \bar{z} = 5$ C、 $z$ 在复平面内对应的点位于第四象限 D、若 $a z + b = i (a, b \in R)$ ，则 $a = - 1, b = 2$

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10. 已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，若 $f (x + 2), f^{'} (x + 1)$ 均为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）

A、 $f (1) + f (3) = 0$ B、 $f^{'} (x)$ 的图象关于点 $(2, 0)$ 对称 C、 $f^{'} (x + 4) = f^{'} (x)$ D、 $\sum_{k = 1}^{2024} f (k) = 0$

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11. 2024年6月嘉兴市普通高中期末检测的数学试卷采用新结构，其中多选题计分标准如下：①每小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；②部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）.若每道多选题有两个或三个正确选项等可能，在完成某道多选题时，甲同学在选定了一个正确选项后又在余下的三个选项中随机选择1个选项，乙同学在排除了一个错误选项后又在余下的三个选项中随机选择2个选项，甲､乙两位同学的得分分别记为 $X$ 和 $Y$ ，则（）

A、 $P (X = 0) > P (Y = 0)$ B、 $P (X = 6) > P (Y = 6)$ C、 $E (X) > E (Y)$ D、 $D (X) > D (Y)$

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三、､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知随机变量 $X \sim N (1, σ^{2})$ ，且 $P (X < 0) = \frac{1}{3}$ ，则 $P (X > 2) =$ .

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13. 某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文､数学､政治､英语､体育､艺术6堂课的课程表，要求数学课不排在下午，体育课不排在上午第1节，则不同的排法总数是.（用数字作答）

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14. 已知 $A, B, C, D$ 为球 $O$ 的球面上四个点，且满足 $A B = 4, B C = 3, C D = 4$ ， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ，则球 $O$ 的表面积的最小值为.

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四、､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、当 $x \in [0, 5]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值.

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16. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $a c o s B + b c o s A = 2 c c o s C$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $s i n A = 2 s i n B, b c = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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17. 如图， $E A$ 和 $D C$ 都垂直于平面 $A B C$ ，且 $E A = A C = 2 D C = 2, D B = D E$ .

(1)、证明：平面 $B D E ⊥$ 平面 $A B E$ ；

(2)、当平面 $A B C$ 与平面 $B D E$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ 时，求几何体 $A B C D E$ 的体积.

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18. 为了了解某市市民平均每天体育锻炼的时间，在该市随机调查了 $n$ 位市民，将这 $n$ 位市民每天体育锻炼的时间（单位：分钟）分为 $[25, 35), [35, 45), [45, 55), [55, 65), [65, 75]$ 五组，得到如图所示的频率分布直方图：
附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$p (K^{2} ⩾ k)$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$k$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

(1)、求 $a$ 的值并估计该市市民每天体育锻炼时间的平均数；

(2)、假设每天的体育锻炼时间达到60分钟及以上为“运动达人”.若从样本中随机抽取一位市民，设事件 $A =$ “抽到的市民是运动达人”， $B =$ “抽到的市民是男性”，且 $P (B ∣ A) = P (\bar{A} ∣ B) = \frac{3}{4}$ .
（i）求 $P (A)$ 和 $P (B)$ ；
（ii）假设有 $99 %$ 的把握认为运动达人与性别有关，求这次至少调查了多少位市民？

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19. 已知函数 $f (x) = (x - a) e^{x - 1} + (a - 2) x + 1$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a > 3$ 时，求证： $f (x)$ 在区间 $(1, + ∞)$ 有唯一的极值点；

(3)、若对于任意的 $x \in [1, 3], f (x) ⩽ 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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$p (K^{2} ⩾ k)$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$k$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828