四川省泸州市合江县2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题

试卷更新日期：2024-07-02 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知集合M满足 ${1 ， 2} \subseteq M \subseteq {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，那么这样的集合 $M$ 的个数为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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2. 使不等式 $x > 1$ 成立的一个充分不必要条件是（）

A、 $2 < x < 3$ B、 $x > 0$ C、 $- 2 < x < 5$ D、 $x > 1$

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3. 已知 $t a n α = 2$ ，则 $s i n α c o s α$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 若角 $α$ 的终边过点 $(4 ， 3)$ ，则 $s i n (α + \frac{π}{2}) =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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5. 幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 5) x^{m + 1}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减，则 $m$ 等于（）

A、3 B、－2 C、－2 或3 D、－3

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6. 设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系为y＝cekx ，其中c ， k为常量．已知海平面处的大气压强为1.01×10⁵ Pa，在1 000 m高空处的大气压强为0.90×10⁵ Pa，则在600 m高空处的大气压强约为(参考数据：0.89^0.6≈0.93)（）

A、9.4×10⁴ Pa B、9.4×10⁶ Pa C、9×10³ Pa D、9×10⁵ Pa

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7. 已知 $x > 0, y > 0$ ，且 $\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3}$ ，若 $x + y > m^{2} + 3 m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 4, 6)$ B、 $(- 3, 0)$ C、 $(- 4, 1)$ D、 $(1, 3)$

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (a - 1) x + 5 - 3 a ， x < 2, \\ l o g_{2} x ， x \geq 2 \end{array}$ 的值域为R ，则实数a的取值范围为（）

A、 $(2, 3]$ B、 $(1, 2]$ C、 $(1, 3]$ D、 $[2, + \infty)$

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二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9. 设复数 $z$ 在复平面内对应的点为 $Z$ ，原点为 $O$ ， $i$ 为虚数单位，则下列说法正确的是（）

A、若 $| z | = 1$ ，则 $z = \pm 1$ 或 $z = \pm i$ B、若点 $Z$ 的坐标为 $(- 1, 1)$ ，则 $\bar{z}$ 对应的点在第三象限 C、若 $z = \sqrt{3} - 2 i$ ，则 $z$ 的模为 $7$ D、若 $1 \leq | z | \leq \sqrt{2}$ ，则点 $Z$ 的集合所构成的图形的面积为 $π$

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10. 已知 $f (x)$ 是定义在闭区间上的偶函数，且在y轴右侧的图象是函数 $y = s i n (ω x + ϕ)$ $(ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 图象的一部分(如图所示)，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $[- π ， π]$ B、当 $x = \frac{π}{6}$ 时， $f (x)$ 取得最大值 C、当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 的单调递增区间为 $[- \frac{2 π}{3} ， - \frac{π}{6}]$ D、当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 有且只有两个零点 $- \frac{5 π}{12}$ 和 $- \frac{11 π}{12}$

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11. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为棱 $A B$ ， $A A_{1}$ 的中点，点 $P$ 在对角线 $A_{1} B$ 上，则（）

A、 $A P + D_{1} P$ 的最小值为 $2 \sqrt{2 + \sqrt{2}}$ B、三棱锥 $P - C E F$ 体积为 $\frac{1}{3}$ C、点 $P$ 到平面 $C E F$ 的距离为 $\frac{1}{6}$ D、四面体 $B C E F$ 外接球的表面积为 $14 π$

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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）

12. 若复数 $z = \frac{a + 2 i}{2 - i} (a \in R)$ 是纯虚数，则 $z =$ .

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13. 已知 $s i n (\frac{2 π}{3} + x) = \frac{3}{5}$ ，则 $c o s (\frac{7 π}{6} + x)$ 等于．

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14. 已知边长为2的菱形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 3 0^{∘}, E$ 是边 $A D$ 所在直线上的一点，则 $\vec{E B} \cdot \vec{E C}$ 的取值范围为．

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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15. 如图所示， $A D$ 是△ABC的一条中线，点 $O$ 满足 $\vec{A O} = 2 \vec{O D}$ ，过点 $O$ 的直线分别与射线 $A B$ ，射线 $A C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点.

(1)、若 $\vec{A O} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，求 $λ ， μ$ 的值；

(2)、设 $\vec{A M} = m \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = n \vec{A C}$ ， $m > 0$ ， $n > 0$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值；

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16. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) + B$ 的一部分图象如图所示，如果 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| ϕ | < \frac{π}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{6}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的取值范围．

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17. 在① $a c o s B + b c o s A = 2 c - 4 c s i n^{2} \frac{C}{2}$ ， ② $2 \vec{C A} \cdot \vec{C B} = c^{2} - {(a - b)}^{2}$ ， ③ $2 s i n^{2} \frac{A + B}{2} + c o s 2 C = 1$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 ▲ ， $c o s A = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $E$ ， $F$ 分别为 $A D_{1}$ ， $C D_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A B C D$ .

(2)、求异面直线 $E F$ 与 $B C_{1}$ 所成角的大小.

(3)、求直线 $B D$ 与平面 $D_{1} E F$ 所成角的正切值.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1} + k$ 是奇函数.（e是自然对数的底）

(1)、求实数k的值；

(2)、若 $x > 0$ 时，关于x的不等式 $f (2 x) \leq m f (x)$ 恒成立，求实数m的取值范围；

(3)、设 $g (x) = \frac{f (x) + 1}{1 - f (x)}$ ，对任意实数 $a, b, c \in (0, n]$ ，若以a ， b ， c为长度的线段可以构成三角形时，均有以 $g (a)$ ， $g (b)$ ， $g (c)$ 为长度的线段也能构成三角形，求实数n的最大值.

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