四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年高一（下）期末数学试卷

试卷更新日期：2024-07-02 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集 $U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，集合 $A = {- 1 ， 2}$ ， $B = {x | x^{2} - 4 x + 3 = 0}$ ，则 $∁_{U} (A ∪ B) =$ （）

A、 ${1 ， 3}$ B、 ${0 ， 3}$ C、 ${- 2 ， 1}$ D、 ${- 2 ， 0}$

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2. 已知 $α$ 是第二象限角， $s i n α = \frac{5}{13}$ ，则 $c o s α =$ ( )

A、 $- \frac{5}{13}$ B、 $- \frac{12}{13}$ C、 $\frac{5}{13}$ D、 $\frac{12}{13}$

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3. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 为边 $B C$ 的中点，记 $\vec{A C} = \vec{a}$ ， $\vec{D B} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A E}$ =( )

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$

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4. 如果函数 $y = 2 s i n (x + φ)$ 的一个零点是 $\frac{π}{3}$ ，那么 $φ$ 可以是( )

A、 $- \frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $- \frac{π}{3}$

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5. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对应的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $△ A B C$ 的面积是 $\frac{\sqrt{3} (b^{2} + c^{2} - a^{2})}{4}$ ，则 $A =$ ( )

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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6. 已知 $\vec{a} = (s i n α, 1 - 4 c o s 2 α)$ ， $\vec{b} = (1,3 s i n α - 2)$ ， $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\frac{s i n 2 α}{2 + {c o s}^{2} α} =$ ( )

A、 $\frac{2}{11}$ B、 $\frac{4}{11}$ C、 $\frac{6}{11}$ D、 $\frac{8}{11}$

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7. 如图，在四面体 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C, A C ⊥ C B, P A = A C = 2 B C = 2$ ，则此四面体的外接球表面积为（）

A、 $3 π$ B、 $9 π$ C、 $36 π$ D、 $48 π$

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8. 已知 $⊙ O$ 的半径为 $1$ ，直线 $P A$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ，直线 $P B$ 与 $⊙ O$ 交于 $B$ ， $C$ 两点， $D$ 为 $B C$ 的中点，若 $| P O | = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P D}$ 的最大值为( )

A、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1 + 2 \sqrt{2}}{2}$ C、 $1$ D、 $2 + \sqrt{2}$

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 已知复数 $z$ ，下列说法正确的是( )

A、若 $z - \bar{z} = 0$ ，则 $z$ 为实数 B、若 $z^{2} + {\bar{z}}^{2} = 0$ ，则 $z = \bar{z} = 0$ C、若 $| z - i | = 1$ ，则 $| z |$ 的最大值为 $2$ D、若 $| z - i | = | z | + 1$ ，则 $z$ 为纯虚数

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10. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a < b < c$ ，且 $a c < 0$ ，则下列选项中恒成立的是( )

A、 $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$ B、 $\frac{b - c}{a} > 0$ C、 $\frac{c - a}{a c} < 0$ D、 $\frac{b^{2}}{c} > \frac{a^{2}}{c}$

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = \frac{π}{2}$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $B C = 1$ ，过 $A C$ 中点 $M$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 交于点 $N .$ 将 $△ A M N$ 沿直线 $l$ 翻折至 $△ A^{'} M N$ ，且点 $A^{'}$ 在平面 $B C M N$ 内的射影 $H$ 在线段 $B C$ 上，连接 $A H$ 交 $l$ 于点 $O$ ， $D$ 是直线 $l$ 上异于 $O$ 的任意一点，则( )

A、 $∠ A^{'} D H \geq ∠ A^{'} D C$ B、 $∠ A^{'} D H \leq ∠ A^{'} O H$ C、点 $O$ 的轨迹的长度为 $\frac{π}{6}$ D、直线 $A^{'} O$ 与平面 $B C M N$ 所成角的余弦值的最小值为 $8 \sqrt{3} - 13$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为 $45 °$ ，腰和上底长均为 $\sqrt{2}$ 的等腰梯形，则原平面图形的面积为．

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13. 已知 $s i n (α + π) = - \frac{3}{5}$ ，则 $t a n (α - \frac{π}{4}) =$ ．

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14. 已知将函数 $f (x) = \sqrt{3} sin x cos x + {cos}^{2} x - \frac{1}{2}$ 的图象向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度后得到 $y = g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{12} ， \frac{π}{3}]$ 上的值域为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 已知 $| \vec{a} | = 4$ ， $| \vec{b} | = 8$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求 $| \vec{a} - \vec{b} |$ ；

(2)、当 $k$ 为何值时， $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (k \vec{a} - \vec{b})$ ．

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16. 已知 $f (α) = \frac{s i n (2 π - α) c o s (π + α) c o s (\frac{π}{2} + α) c o s (\frac{11 π}{2} - α)}{c o s (π - α) s i n (3 π - α) s i n (- π - α) s i n (\frac{9 π}{2} + α)}$ ．

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、已知 $f (α) = - 2$ ，求 $\frac{s i n α + c o s α}{s i n α - c o s α}$ 的值．

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17. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (ω > 0, A > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的一段图象过点 $(0,1)$ ，如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的表达式；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $y = g (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域；

(3)、若 $f (α) = \frac{2}{3}, α \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $f (α - \frac{π}{4})$ 的值．

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18. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = A D$ ， $O$ 为 $B D$ 的中点.

(1)、证明： $O A ⊥ C D$ ；

(2)、若 $△ O C D$ 是边长为1的等边三角形，点 $E$ 在棱 $A D$ 上， $D E = 2 E A$ ，且二面角 $E - B C - D$ 的大小为 $45 °$ ，求三棱锥 $A - B C D$ 的体积.

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19. 已知 $O$ 为坐标原点，对于函数 $f (x) = a s i n x + b c o s x$ ，称向量 $\vec{O M} = (a, b)$ 为函数 $f (x)$ 的伴随向量，同时称函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M}$ 的伴随函数．

(1)、设函数 $g (x) = s i n (x + \frac{5 π}{6}) + c o s (\frac{3 π}{2} + x)$ ，试求 $g (x)$ 的伴随向量的坐标；

(2)、记向量 $\vec{O N} = (1, \sqrt{3})$ 的伴随函数为 $f (x)$ ，当 $f (x) = \frac{8}{5}$ 且 $x \in (- \frac{π}{3}, \frac{π}{6})$ 时，求 $s i n x$ 的值；

(3)、设向量 $\vec{O P} = (2 λ, - 2 λ)$ ， $λ \in R$ 的伴随函数为 $u (x)$ ， $\vec{O Q} = (1,1)$ 的伴随函数为 $v (x)$ ，记函数 $h (x) = u (x) + v^{2} (x)$ ，求 $h (x)$ 在 $[0, π]$ 上的最大值．

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