浙江省湖州市2023-2024学年高一下学期6月期末调研测试数学试题

试卷更新日期：2024-07-02 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个单位向量，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a} = \pm \vec{b}$ B、 $\vec{a} / / \vec{b}$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ D、 ${\vec{a}}^{2} = {\vec{b}}^{2}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 3 + i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知圆锥的母线长为 $2 \sqrt{2}$ ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 设 $α$ ， $β$ 是两个平面，m ， n是两条直线，则下列命题为真命题的是（）

A、若 $α ⊥ β$ ， $m / / α$ ， $n / / β$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $m / / n$ ，则 $α / / β$ C、若 $α ∩ β = m$ ， $n / / α$ ， $n / / β$ ，则 $m / / n$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m / / n$ ，则 $α ⊥ β$

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5. 如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是（）

A、众数<中位数<平均数 B、众数<平均数<中位数 C、中位数<平均数<众数 D、中位数<众数<平均数

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6. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值是（）

A、0 B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 湖州东吴国际双子大厦是湖州目前已建成的第一高楼，也被称为浙北第一高楼，是湖州的一个壮观地标．如图，为测量双子大厦的高度CD ，某人在大厦的正东方向找到了另一建筑物，其高AB约192m，在它们之间的地面上的点M（B ， M ， D共线）处测得建筑物顶A、大厦顶C的仰角分别为45°和60°，在建筑物顶A处测得大厦顶C的仰角为15°，则可估算出双子大厦的高度CD约为（）

A、284m B、286m C、288m D、290m

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8. 已知 $△ A B C$ 是锐角三角形，若 $s i n^{2} A - s i n^{2} B = s i n B s i n C$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ C、 $(\sqrt{2}, 2)$ D、 $(\sqrt{3}, 2)$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 为了丰富同学们的课外活动，某学校为同学们举办了四种不同的科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件A：只参加科技游艺活动；事件B：至少参加两种科普活动；事件C：只参加一种科普活动；事件D：一种科普活动都不参加；事件E：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（）

A、A与D是互斥事件 B、B与E是对立事件 C、 $E = C ∪ D$ D、 $A = C ∩ E$

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10. 若复数z ， w均不为0，则下列结论正确的是*

A、 $| z + w | = | z | + | w |$ B、 $| \bar{z - w} | = | \bar{z} - \bar{w} |$ C、 $| z \cdot w | = | z | \cdot | w |$ D、 $| \frac{z}{w} | = \frac{| \bar{z} |}{| \bar{w} |}$

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11. 如图，一张矩形白纸 $A B C D$ ， $A B = 4$ ， $A D = 4 \sqrt{2}$ ， E ， F分别为AD ， BC的中点，BE交AC于点M ， DF交AC于点 $N$ ．现分别将 $△ A B E$ ， $△ C D F$ 沿BE ， DF折起，且点A ， C在平面 $B F D E$ 的同侧，则下列命题正确的是（）

A、当平面 $A B E / /$ 平面 $C D F$ 时， $A C / /$ 平面 $B F D E$ B、当A ， C重合于点 $P$ 时， $P D ⊥$ 平面 $P F M$ C、当A ， C重合于点 $P$ 时，三棱锥 $P - D E F$ 的外接球的表面积为 $24 π$ D、当A ， C重合于点 $P$ 时，四棱锥 $P - B F D E$ 的体积为 $\frac{8 \sqrt{2}}{3}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知事件 $A$ 和事件 $B$ 相互独立，且 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{3}{4}$ ，则 $P (A \bar{B}) =$ ．

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13. 已知向量 $\vec{a} = (4, 3)$ ， $\vec{b} = (2, 4)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标是．

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14. 已知四面体 $A - B C D$ 中，棱BC ， AD所在直线所成的角为 $60 °$ ，且 $B C = 4$ ， $A D = 3$ ， $∠ A C D = 120 °$ ，则四面体 $A - B C D$ 体积的最大值是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件 $A =$ “第一次摸到红球”，事件 $B =$ “第二次摸到红球”．

(1)、求 $P (A)$ 和 $P (B)$ 的值；

(2)、求两次摸到的不都是红球的概率．

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16. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， $(2 b - c) c o s A = a c o s C$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ， $B C$ 边上的高为1，求 $△ A B C$ 的周长．

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17. 某学校组织“防电信诈骗知识”测试，随机调查400名学生，将他们的测试成绩（满分100分）的统计结果按 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， …， $[90, 100]$ 依次分成第一组至第五组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求图中x的值；

(2)、估计参与这次测试学生的成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第60百分位数；

(3)、现从以上第三组、第四组和第五组中参与测试的学生用分层随机抽样的方法选取15人，担任学校“防电信诈骗知识”的宣传员．若这15名学校宣传员中来自第三组学生的测试成绩的平均数和方差分别为75和5，来自第四组学生的测试成绩的平均数和方差分别为85和10，来自第五组学生的测试成绩的平均数和方差分别为93和5.2，据此估计这次第三组、第四组和第五组所有参与测试学生的成绩的方差．

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18. 如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形，且 $∠ A B C = 60 °$ ， $A A_{1} = B B_{1} = C C_{1} = 1$ ，侧棱 $B B_{1}$ 与底面 $A B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．若球 $O$ 与三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 内切（即球与棱台各面均相切）．

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $B_{1} D_{1} D B$ ；

(2)、求二面角 $B_{1} - B C - A$ 的正切值；

(3)、求四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积和球 $O$ 的表面积．

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19. 已知函数 $f (x) = | x - \frac{1}{x} | - (x - a)$ ， $a \in R$ ．

(1)、写出函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个不同零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、已知点 $A (x_{1}, 2)$ ， $B (x_{2}, 2)$ 是函数 $f (x)$ 图象上的两个动点，且满足 $x_{2} > x_{1} > 0$ ，求 $3 x_{1} - x_{2} + a$ 的取值范围．

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