浙江省嘉兴市2023-2024学年高一下学期6月期末检测数学试题

试卷更新日期：2024-07-02 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 复数 $- 2 + i$ （i为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、 $\vec{a} / / \vec{b}$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$ D、 $\vec{a} + \vec{b} = (0, 4)$

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3. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，若 $a = 2$ ， $c = \sqrt{3}$ ， $A = 60 °$ ，则 $s i n C =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{8}$

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4. 如图，下列几何关系表达正确的是（）

A、 $m \in α$ ， $A \subset α$ ， m ， n共面 B、 $m \subset α$ ， $A \in α$ ， m ， n共面 C、 $m \in α$ ， $n ∩ α = A$ ， m，n异面 D、 $m \subset α$ ， $n ∩ α = A$ ， m ， n异面

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5. 一个笔袋中装有4支不同的水笔，其中2支黑色，1支蓝色，1支红色，若从中任取2支，恰好取到1支黑色和1支红色水笔的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 在平行四边形 $A B C D$ 中，已知 $A D = B D$ ， $∠ A D B = 90 °$ （如图1），将 $△ A D B$ 沿BD折起到 $△ S D B$ 的位置（如图2），使得平面 $S D B ⊥$ 平面 $B C D$ ，则直线SB与直线CD所成角为（）

A、30° B、60° C、90° D、120°

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7. 已知数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ ， $x_{6}$ 的平均数为10，方差为1，数据 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ ， $y_{4}$ 的平均数为5，方差为3，将两组数据合在一起组成一个容量为10的新样本，则新样本的方差为（）

A、4.2 B、4.8 C、7.8 D、9.2

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8. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ．已知 $s i n A = 2 s i n B$ ， $C = 60 °$ ， E为BC中点， $F$ 在线段AB上，且 $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ ， $A E$ 和CF相交于点 $P$ ，则 $∠ E P F$ 的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{14}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{14}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 气象台预报嘉兴市5月份气候适宜，温度波动幅度较小，比较适合户外运动，其中2024年5月9日至5月15日7天内的当日最高温度（单位℃）分别为：24，28，23，25，26，26，29，则以下说法正确的是（）

A、该组数据的极差为6 B、该组数据的众数为26 C、该组数据的中位数为25.5 D、该组数据的第70百分位数为26

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10. 如图，点A ， B在 $⊙ C$ 上，则下列所给条件可以求出数量积 $\vec{A C} \cdot \vec{A B}$ 的是（）

A、 $| \vec{A B} | = 2 \sqrt{3}$ ， $| \vec{A C} | = 2$ ， $∠ C A B = 30 °$ B、 $| \vec{A C} | = 2$ ， $∠ C A B = 30 °$ C、 $| \vec{A C} | = 2$ D、 $| \vec{A B} | = 2 \sqrt{3}$

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11. 如图，已知正八面体 $S - A B C D - T$ （围成八面体的八个三角形均为等边三角形）的棱长为2，其中四边形 $A B C D$ 为正方形，其棱切球（与正八面体的各条棱都相切）的球心为 $O$ ，则以下结论正确的是（）

A、点 $O$ 到平面 $C D T$ 的距离等于1 B、点 $O$ 到直线CT的距离等于1 C、球 $O$ 在正八面体外部的体积小于 $(\frac{4}{3} - \frac{8}{27} \sqrt{6}) π$ D、球 $O$ 在正八面体外部的面积大于 $\frac{8}{3} \sqrt{6 - 2 \sqrt{6}} π$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 若复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 2$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z | =$ ．

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13. 已知 $P (A) = 0.8$ ， $P (A ∪ B) = 0.92$ ，且 $A$ 与 $B$ 相互独立， $P (B) =$ ．

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14. 如图，壕股塔位于嘉兴南湖西侧的南湖渔村中，某项目化学习小组为了测量其高度，选取与塔底O在同一水平面的三个测量点A ， B ， C ，分别测得塔顶P点的仰角为30°，45°，30°，延长AB交OC于点D ，经测量D为OC上靠近O点的三等分点，B为AD的中点， $A C = 120$ 米，则塔高 $P O =$ 米．

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四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{3}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{9}{2}$ ．

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、求 $| 2 \vec{a} - 3 \vec{b} |$ ．

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16. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，且 $b c o s A + \sqrt{3} a s i n B = c + a$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，且 $b = 2 \sqrt{3}$ ，求a ， c ．

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17. 嘉兴市期末测试中数学多选题评分标准如下：若某试题有两个正确选项，选对一个得3分，选对两个得6分，有错选得0分；若该试题有三个正确选项，选对一个得2分，选对两个得4分，三个都选对得6分，有错选得0分，小明同学正在做一道数学多选题（多选题每题至少选一项且不能全选，假设每个选项被选到的概率是等可能的），请帮助小明求解以下问题：

(1)、若该多选题有两个正确选项，在完全盲猜（可以选一个选项、可以选两个选项、也可以选三个选项）的情况下，求小明得6分的概率；

(2)、若该多选题有三个正确选项，小明已经判定A正确（正确答案中有A选项，且A必选）的情况下，求小明得分大于等于4分的概率．

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18. 如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中，已知 $A B = B C = S A = 2$ ， $A B ⊥ B C$ ， $S A ⊥$ 底面 $A B C$ ， E为SB中点， $F$ 为线段BC上一个动点．

(1)、证明：平面 $A E F ⊥$ 平面 $S B C$ ；

(2)、若 $F$ 为线段BC中点，求二面角 $B - A E - F$ 的余弦值；

(3)、设 $M$ 为线段AE上的一个动点，若 $M F / /$ 平面 $S A C$ ，求线段MF长度的最小值．

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19. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 4$ ， $B C = 5$ ， $A C = 6$ ， $D$ 为线段BC上一个动点．

(1)、若AD为 $∠ B A C$ 的角平分线，求线段AD的长；

(2)、将 $△ C A D$ 折起到 $△ S A D$ 的位置，记二面角 $S - A D - B$ 的大小为 $α$ ．
i）若 $α = 90 °$ ，且AD为 $∠ B A C$ 的角平分线，求三棱锥 $S - A D B$ 外接球的面积；
ii）若 $α = 120 °$ ，求三棱锥 $S - A D B$ 外接球的面积最小值．

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