浙江省宁波市余姚市2023-2024学年高一（下）期末数学试卷

试卷更新日期：2024-07-02 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 将直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转一周，所得的几何体是( )

A、圆柱 B、圆台 C、圆锥 D、两个圆锥

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2. 设 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，且满足 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则下列命题正确的是( )

A、若 $m / / β$ ，则 $m / / n$ B、若 $m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $m / / n$ ，则 $α / / β$ D、若 $m ⊥ n$ ，则 $m ⊥ β$

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3. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为 $1$ 的正方形 $($ 如图所示 $)$ ，则原平面图形的周长为( )

A、 $8$ B、 $2 + 2 \sqrt{2}$ C、 $4$ D、 $8 \sqrt{2}$

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4. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )

A、“至少有一个黑球”与“都是黑球” B、“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” C、“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D、“至少有一个黑球”与“都是红球”

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5. 在 $△ A B C$ 中， $a = 3 \sqrt{2}, c = 3, ∠ A = 45 °$ ，则 $△ A B C$ 的最大内角等于( )

A、 $105 °$ B、 $120 °$ C、 $125 °$ D、 $150 °$

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6. 某试验田种植甲、乙两种水稻，面积相等的两块稻田 $($ 种植环境相同 $)$ 连续 $5$ 次的产量如下：
甲 $/ k g$
$260$
$250$
$210$
$250$
$280$
乙 $/ k g$
$220$
$260$
$230$
$250$
$290$
则下列说法错误的是( )

A、甲种水稻产量的众数为 $250$ B、乙种水稻产量的极差为 $70$ C、甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数 D、甲种水稻产量的方差大于乙种水稻产量的方差

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7. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c .$ 若 $a c o s C = 2 c c o s A$ ，则 $\frac{b c}{a^{2}}$ 的最大值为( )

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $3$

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8. 已知 $| \vec{m} | = | \vec{n} | = 1$ ， $\vec{p} = \vec{m} + x \vec{n} (x \in R)$ ，函数 $f (x) = | \vec{p} |$ ，当 $x = \frac{\sqrt{3}}{4}$ 时， $f (x)$ 有最小值，则 $\vec{m}$ 在 $\vec{n}$ 上的投影向量为( )

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{n}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{n}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{4} \vec{n}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{n}$

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 已知复数 $z_{1} = 2 - i$ ， $z_{2} = 2 + i$ ，则( )

A、 $z_{1} - z_{2}$ 为纯虚数 B、复数 $z_{1} z_{2}$ 在复平面内对应的点位于第四象限 C、 $z_{1} \cdot \bar{z_{2}} = \bar{z_{1}} \cdot z_{2} ($ 注意： $\bar{z}$ 表示复数 $z$ 的共轭复数 $)$ D、满足 $| z - z_{1} | = | z - z_{2} |$ 的复数 $z$ 在复平面内对应的点的轨迹为直线

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10. 已知 $△ A B C$ 中， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别为角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边， $S$ 为 $△ A B C$ 的面积，则下列条件能使 $△ A B C$ 只有一个解的是( )

A、 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $c \in N_{+}$ B、 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $a c o s B + b c o s A = 2 c c o s B$ C、 $a = 1, b = 2, S = \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $A + B = 2 C$

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11. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，且 $A B = B C = C C_{1} = 2$ ， $M$ 为线段 $B C$ 上的动点，则( )

A、 $A B_{1} ⊥ A_{1} M$ B、三棱锥 $C_{1} - A M B_{1}$ 的体积不变 C、 $| A_{1} M | + | C_{1} M |$ 的最小值为 $3 + \sqrt{5}$ D、当 $M$ 是 $B C$ 的中点时，过 $A_{1}$ ， $M$ ， $C_{1}$ 三点的平面截三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接球所得的截面面积为 $\frac{26}{9} π$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 已知复数 $z = 1 - i$ ， $i$ 为虚数单位，则 $| \bar{z} | =$ ．

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13. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 和 $F$ 分别是边 $C D$ 和 $B C$ 的中点，若 $\vec{A C} = λ \vec{A E} + μ \vec{A F}$ ，其中 $λ$ 、 $μ \in R$ ，则 $λ + μ =$ ．

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14. 如图，圆形纸片的圆心为 $O$ ，半径为 $12$ ，该纸片，上的正方形 $A B C D$ 的中心为 $O$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 为圆 $O$ 上的点， $△ A B E$ ， $△ B C F$ ， $△ C D G$ ， $△ A D H$ 分别是以 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 为折痕折起 $△ A B E$ ， $△ B C F$ ， $△ C D G$ ， $△ A D H$ 使得点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 重合，得到一个四棱锥 $.$ 当该四棱锥的侧面积是底面积的 $2$ 倍时，该四棱锥的外接球的表面积为．

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四、解答题：本题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ = \frac{3 π}{4}$ ，且 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ， $| \vec{a} + \vec{b} |$ ；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角的余弦值．

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16. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示

(1)、求出a的值；

(2)、求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；

(3)、现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求这2人恰好在同一组的概率．

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17. 如图，在多面体 $P A B C D E$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $D E / / P A$ ， $P A = 2 D E = 2 A D = 4$ ，四边形 $A B C D$ 是正方形．

(1)、求直线 $B E$ 与平面 $A D E P$ 所成角的余弦值；

(2)、证明： $P E ⊥$ 平面 $A B E$ ；

(3)、求平面 $B C E$ 与平面 $A D E P$ 所成的二面角的平面角的大小．

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18. 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试 $.$ 一种通常采用的测试方法如下：拿出 $n$ 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这 $n$ 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试 $.$ 根据一轮测试中的两次排序偏离程度的高低对其酒味鉴别能力进行评价．
现设 $n = 3$ ，分别以 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 表示第一次排序时被排为 $1$ ， $2$ ， $3$ 的三种酒在第二次排序时的序号，并令 $X = | a_{1} - 1 | + | a_{2} - 2 | + | a_{3} - 3 |$ ，则 $X$ 是对两次排序的偏离程度的一种描述 $.$ 若两轮测试都有 $X = 0$ ，则该品酒师被授予“特级品酒师”称号；若两轮测试都有 $X \leq 2$ ，且至少有一轮测试出现 $X \neq 0$ ，则该品酒师被授予“一级品酒师”称号．

(1)、用下列表格形式写出第二次排序时所有可能的 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 排序结果，并求出相应的 $X$ 值；
$a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$
$X$
$1$ ， $2$ ， $3$
$0$

$\dots$

$\dots$

(2)、甲参加了两轮测试，两轮测试结果相互独立，记事件 $D =$ “甲被授予一级品酒师称号”，求 $P (D)$ ；

(3)、甲连续两年都参加了两轮测试，两年测试结果相互独立，记事件 $E =$ “在这两年中甲至少有一次被授予特级品酒师称号”，求 $P (E)$ ．

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19. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，其面积记为 $S$ ，且满足 $b^{2} + 4 \sqrt{3} S = (a + c)^{2}$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、 $D$ 为 $A C$ 边上一点， $B D = 2$ ，且 $\frac{B A}{B C} = \frac{A D}{D C}$ ，求 $S$ 的最小值．

(3)、圆 $O$ 是 $△ A B C$ 外接圆， $P$ 是圆 $O$ 外一点， $P M$ ， $P N$ 分别切圆 $O$ 于点 $M$ ， $N$ ，若 $b = 1$ ，求 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的最小值．

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甲 $/ k g$	$260$	$250$	$210$	$250$	$280$
乙 $/ k g$	$220$	$260$	$230$	$250$	$290$

$a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$	$X$
$1$ ， $2$ ， $3$	$0$
$\dots$	$\dots$