甘肃省临夏州2024年中考数学试卷

试卷更新日期：2024-07-01 类型：中考真卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．

1. 下列各数中，是无理数的是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\sqrt[3]{27}$ D、0.13133

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2. 马家窑彩陶绚丽典雅，符号丰富，被称为彩陶文化的“远古之光”．如图是一件马家窑彩陶作品的立体图形，有关其三视图说法正确的是（）

A、主视图和左视图完全相同 B、主视图和俯视图完全相同 C、左视图和俯视图完全相同 D、三视图各不相同

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3. 据央视财经《经济信息联播》消息：甘肃天水凭借一碗香喷喷的麻辣烫成为最“热辣滚烫”的顶流.2024年3月份，天水市累计接待游客464万人次，旅游综合收入27亿元．将数据“27亿”用科学记数法表示为（）

A、2.7×10⁸ B、0.27×10¹⁰ C、2.7×10⁹ D、27×10⁸

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4. 下列各式运算结果为a⁵的是（）

A、a²+a³ B、a²•a³ C、a¹⁰÷a² D、（a²）³

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5. 一次函数y＝kx﹣1（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6. 如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝（）

A、80° B、100° C、120° D、110°

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7. 端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是x元，所得方程正确的是（）

A、 $\frac{240}{x} - \frac{240}{x + 2} = 10$ B、 $\frac{240}{x} - \frac{240}{x - 2} = 10$ C、 $\frac{240}{x - 2} - \frac{240}{x} = 10$ D、 $\frac{240}{x + 2} - \frac{240}{x} = 10$

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8. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝ $\frac{4}{5}$ ，则BC的长是（）

A、3 B、6 C、8 D、9

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9. 如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3，4），则顶点A的坐标为（）

A、（﹣4，2） B、（﹣ $\sqrt{3}$ ， 4） C、（﹣2，4） D、（﹣4， $\sqrt{3}$ ）

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10. 如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD ，垂足为Q ．设点P的运动路程为x ， PQ﹣DQ为y ， y与x的函数图象如图2，则AD的长为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{7 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{11}{4}$

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二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．

11. 因式分解：x²﹣ $\frac{1}{4}$ ＝．

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12. “香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂．”图1窗棂的外边框为正六边形（如图2），则该正六边形的每个内角为．

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13. 若关于x的一元二次方程x²+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为．

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14. 如图，在△ABC中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（4，1），点C的坐标为（3，4），点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是．

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15. 如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD ， OM为折痕，以点O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD ， BC于E ， F两点，则 $\hat{E F}$ 的长度为（结果保留π）．

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16. 如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A^'满足AA^'＝ $\frac{1}{3}$ AD ，则平移前后两三角形重叠部分的面积是．

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三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 计算：|﹣ $\sqrt{4}$ |﹣（ $\frac{1}{3}$ ）^﹣1+2025⁰ ．

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18. 化简：（a+1+ $\frac{1}{a - 1}$ ）÷ $\frac{a^{2} + a}{a - 1}$ ．

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19. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x + 1 ⩾ x + 2 ① \\ 2 x - 1 < \frac{1}{2} (x + 4) ② \end{array}$ ．

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20. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A ， B ， C ， D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．

(1)、小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是；

(2)、小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率．

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21. 根据背景素材，探索解决问题．

平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形ABCDEF
背景素材	六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述．
已知条件	点C与坐标原点O重合，点D在x轴的正半轴上且坐标为（2，0）．
操作步骤	①分别以点C ， D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P； ②以点P为圆心，PC长为半径作圆； ③以CD的长为半径，在⊙P上顺次截取 $\hat{D E} = \hat{E F} = \hat{F A} = \hat{A B}$ ； ④顺次连接DE ， EF ， FA ， AB ， BC ．得到正六边形ABCDEF ．
问题解决
任务一	根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）
任务二	将正六边形ABCDEF绕点D顺时针旋转60°，直接写出此时点E所在位置的坐标：．

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22. 乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度AB的实践活动．A为乾元塔的顶端，AB⊥BC ，点C ， D在点B的正东方向，在C点用高度为1.6米的测角仪（即CE＝1.6米）测得A点仰角为37°，向西平移14.5米至点D ，测得A点仰角为45°，请根据测量数据，求乾元塔的高度AB ．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

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四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

23. 环球网消息称：近年来的电动自行车火灾事故80%都是充电时发生的，超过一半的电动自行车火灾发生在夜间充电的过程中．为了规避风险，某校政教处对学生进行规范充电培训活动，并对培训效果按10分制进行检测评分．为了解这次培训的效果，现从各年级随机抽取男、女生各10名的检测成绩作为样本进行整理，并绘制成如下不完整的统计图表：
抽取的10名女生检测成绩统计表
成绩/分
6
7
8
9
10
人数
1
2
m
3
n
注：10名女生检测成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：

(1)、样本中男生检测成绩为10分的学生数是，众数为分；

(2)、女生检测成绩表中的m＝， n＝；

(3)、已知该校有男生545人，女生360人，若认定检测成绩不低于9分为“优秀”，估计全校检测成绩达到“优秀”的人数．

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24. 如图，直线l与⊙O相切于点D ， AB为⊙O的直径，过点A作AE⊥l于点E ，延长AB交直线l于点C ．

(1)、求证：AD平分∠CAE；

(2)、如果BC＝1，DC＝3，求⊙O的半径．

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25. 如图，直线y＝kx与双曲线y＝﹣ $\frac{4}{x}$ 交于A ， B两点，已知A点坐标为（a ， 2）．

(1)、求a ， k的值；

(2)、将直线y＝kx向上平移m（m＞0）个单位长度，与双曲线y＝﹣ $\frac{4}{x}$ 在第二象限的图象交于点C ，与x轴交于点E ，与y轴交于点P ，若PE＝PC ，求m的值．

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26. 如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边上不与端点重合的一动点，点F是对角线BD上一点，连接BE ， AF交于点O ，且∠ABE＝∠DAF ．

(1)、【模型建立】
求证：AF⊥BE；

(2)、【模型应用】
若AB＝2，AD＝3，DF＝ $\frac{1}{2}$ BF ，求DE的长；

(3)、【模型迁移】
如图2，若矩形ABCD是正方形，DF＝ $\frac{1}{2}$ BF ，求 $\frac{A F}{A D}$ 的值．

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27. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C ，作直线BC ．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、如图1，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ⊥BC ，垂足为Q ，请问线段PQ是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由．

(3)、如图2，点M是直线BC上一动点，过点M作线段MN∥OC（点N在直线BC下方），已知MN＝2，若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标x_M的取值范围．

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成绩/分	6	7	8	9	10
人数	1	2	m	3	n