浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学6月期末试卷

试卷更新日期：2024-07-01 类型：月考试卷

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1. 已知复数 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = 2 - i$ （i为虚数单位， $i^{2} = - 1$ ），则复数 $z = z_{2} - z_{1}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 命题“ $\exists x > 0$ ， $x^{2} - 3 x - 10 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} - 3 x - 10 > 0$ B、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} - 3 x - 10 \leq 0$ C、 $\forall x \leq 0$ ， $x^{2} - 3 x - 10 \leq 0$ D、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} - 3 x - 10 \leq 0$

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3. 下列函数中，以 $π$ 为最小正周期的奇函数是（）

A、 $y = s i n 2 x$ B、 $y = c o s x$ C、 $y = 2 | s i n x |$ D、 $y = 2 | c o s x |$

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4. 若甲、乙、丙三人排成一行拍照，则甲不在中间的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P ， Q分别是棱 $A A_{1}$ 和 $C C_{1}$ 上的点， $P A = \frac{1}{3} A A_{1}$ ， $B Q = \frac{1}{3} B B_{1}$ ，那么正方体中过点D ， P ， Q的截面形状为（）

A、三角形 B、四边形 C、五边形 D、六边形

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6. 在同一个坐标系中，函数 $f (x) = l o g_{a} x$ ， $g (x) = a^{- x}$ ， $h (x) = x^{a}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $s i n 2 β = 3 s i n 2 (α + γ)$ ，则 $\frac{t a n (α + β + γ)}{t a n (α - β + γ)} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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8. 已知经过圆锥SO的轴的截面是顶角为 $θ$ 的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，则 $c o s θ =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$

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二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9. 本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）

A、图中x的值为0.030 B、被抽取的学生中成绩在 $[70, 80)$ 的人数为15 C、估计样本数据的众数为90 D、估计样本数据的平均数大于中位数

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10. 已知向量 $\vec{a} = (- 1, 3)$ ， $\vec{b} = (x, 2)$ ，且 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则（）

A、 $\vec{b} = (1, 2)$ B、 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | = 25$ C、向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角是45° D、向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量坐标是 $(1, 2)$

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11. 已知 $z \in C$ ，设函数 $f (z)$ 满足 $f (z) + z f (1 - z) = 1 + z$ ，则（）

A、 $f (1) = 1$ B、当 $z \in R$ 时， $f (z)$ 不一定是常数函数 C、若 $f (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) = 2$ ，则 $f (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ D、若 $| z | = 1$ ，则 $z f (\bar{z}) + f (1 - \bar{z}) = 1 + z$

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三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 函数 $y = l n x$ 与 $y = e^{x}$ 的图象关于直线对称．

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13. 若某扇形的圆心角为 $\frac{π}{4}$ ，面积为 $\frac{π}{2}$ ，则该扇形的半径是．

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14. 记△ABC的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ．已知 $s i n C = \sqrt{2} c o s B$ ， $a^{2} + b^{2} - c^{2} = \sqrt{2} a b$ ，若△ABC的面积为 $3 + \sqrt{3}$ ，则 $a =$ ．

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四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n x - c o s x + 2 c o s 2 x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{5 π}{12}]$ 上的最大值、最小值及相应的x的值．

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16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD ， PD与底面所成的角为45°，E为PD的中点．

(1)、求证：AE⊥平面PCD；

(2)、若 $A B = \sqrt{3} A D$ ，求平面ABC与平面PBC的夹角大小．

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17. 已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - x$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性．

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18. 已知椭圆C的焦点在x轴上，上顶点 $M (0, 1)$ ，右焦点F ，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设直线l与椭圆C交于P ， Q两点．
（i）若直线l与MF垂直，求线段PQ中点的轨迹方程；
（ii）是否存在直线l ，使F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n}^{2} - (4 + 3 n) a_{n} - 4 n^{2} - 4 n = 0 (a_{n} > 0, n \in N *)$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n + 1} = 3 b_{n} + 2 n - 1 (n \in N *)$ ， $b_{1} = 2$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、定义：已知数列 ${c_{n}}$ ， $Q_{n} = \sum_{i = 1}^{n} c_{2 i}$ ，当 $\frac{Q_{n}}{4} \in N^{*}$ 时，称 ${c_{n}}$ 为“4一偶数项和整除数列”．
（i）计算 $S_{n}$ ， $T_{n}$ ，其中 $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{2 i}$ ， $T_{n} = \sum_{i = 1}^{n} (b_{2 i} + 2 i)$ ．
（ii）若 ${λ (b_{n} + n) - a_{n}} (λ \in N *)$ 为“4-偶数项和整除数列”，求 $λ$ 的最小值．

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