四川省泸州市龙马潭区2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题

试卷更新日期：2024-07-01 类型：期末考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若直线过点 $(- 1,2)$ ， $(3,2 + 4 \sqrt{3})$ ，则此直线的倾斜角为( )

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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2. 已知 $⊙ C : x^{2} + y^{2} + x - 2 y + \frac{1}{2} = 0$ ，则该圆的圆心坐标和半径分别为( )

A、 $(- \frac{1}{2}, 1), \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $(- 1,2), \sqrt{3}$ C、 $(\frac{1}{2}, - 1), \sqrt{3}$ D、 $(1, - 2), \frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} + a_{7} = 10$ ， $a_{5} a_{6} = 35$ ，则 $S_{6} =$ ( )

A、 $20$ B、 $16$ C、 $14$ D、 $12$

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4. 已知双曲线 $C$ 经过点 $(0,1)$ ，离心率为 $\sqrt{2}$ ，则 $C$ 的标准方程为( )

A、 $x^{2} - y^{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $y^{2} - x^{2} = 1$ D、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{3} = 1$

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5. 将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（）

A、3 B、6 C、10 D、15

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6. 衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选 $4$ 只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为( )

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{8}{15}$

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7. 已知点 $M$ ， $N$ 是抛物线 $Γ : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 和动圆 $C : (x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = r^{2} (r > 0)$ 的两个公共点，点 $F$ 是 $Γ$ 的焦点，当 $M N$ 是圆 $C$ 的直径时，直线 $M N$ 的斜率为 $2$ ，则当 $r$ 变化时， $r + | M F |$ 的最小值为( )

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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8. 已知 $f (x) = x l o g_{2} (\sqrt{4 x^{2} + 1} + 2 x) - c o s x$ ，且 $a = f (l o g_{2} \frac{1}{3}), b = f (0 . 9^{0.1}), c = f (l o g_{3} 4)$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为( )

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $a > c > b$

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 已知 ${(\frac{1}{x} - 2 x^{2})}^{n}$ 的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（）

A、 $n = 7$ B、只有第4项的二项式系数最大 C、各项系数之和为1 D、 $x^{5}$ 的系数为560

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10. 下列说法中正确的是( )
附： $χ^{2}$ 独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值

$α$

$0.1$

$0.05$

$0.01$

$χ_{a}$

$2.706$

$3.841$

$6.635$

A、已知离散型随机变量 $X \sim B (4, \frac{1}{3})$ ，则 $D (3 X + 2) = \frac{14}{3}$ B、一组数据 $148$ ， $149$ ， $154$ ， $155$ ， $155$ ， $156$ ， $157$ ， $158$ ， $159$ ， $161$ 的第 $75$ 百分位数为 $158$ C、若 $P (A) = \frac{1}{4}, P (\bar{B}) = \frac{2}{3}, P (A B) = \frac{1}{12}$ ，则事件 $A$ 与 $B$ 相互独立 D、根据分类变量 $x$ 与 $y$ 的观测数据，计算得到 $χ^{2} = 3.154$ ，依据 $α = 0.05$ 的独立性检验可得：变量 $x$ 与 $y$ 独立，这个结论错误的概率不超过 $0.05$

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11. 将两个各棱长均为 $1$ 的正三棱锥 $D - A B C$ 和 $E - A B C$ 的底面重合，得到如图所示的六面体，则( )

A、该几何体的表面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、该几何体的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直 D、直线 $A D / /$ 平面 $B C E$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = 4 a_{n - 1} + 3 (n \geq 2)$ 且 $a_{1} = 0$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式是．

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13. 过点 $(- 1,1)$ 与曲线 $f (x) = l n (x + 1) - 3 e^{x} + 2$ 相切的直线方程为．

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14. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点 $P$ 为该椭圆上一点，且满足 $∠ F_{1} P F_{2} = 60^{\circ}$ ，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的外接圆面积是其内切圆面积的 $64$ 倍，则该椭圆的离心率为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 近几年，随着生活水平的提高，人们对水果的需求量也随之增加，我市精品水果店大街小巷遍地开花，其中中华猕猴桃的口感甜酸、可口，风味较好，广受消费者的喜爱 $.$ 在某水果店，某种猕猴桃整盒出售，每盒 $20$ 个 $.$ 已知各盒含 $0$ ， $1$ 个烂果的概率分别为 $0.8$ ， $0.2 .$

(1)、顾客甲任取一盒，随机检查其中 $4$ 个猕猴桃，若当中没有烂果，则买下这盒猕猴桃，否则不会购买此种猕猴桃 $.$ 求甲购买一盒猕猴桃的概率 $;$

(2)、顾客乙第 $1$ 周网购了一盒这种猕猴桃，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒 $;$ 若当中有烂果，则隔一周再网购一盒 $;$ 以此类推，求乙第 $5$ 周网购一盒猕猴桃的概率．

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16. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 为正方形， $A B = B C = 2$ ， E，F分别为 $A C$ 和 $C C_{1}$ 的中点，D为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点． $B F ⊥ A_{1} B_{1}$

(1)、证明： $B F ⊥ D E$ ；

(2)、当 $B_{1} D$ 为何值时，面 $B B_{1} C_{1} C$ 与面DFE所成的二面角的正弦值最小?

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17. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n$ ，在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 中插入 $n^{2} + n - 1$ 个数，使这 $n^{2} + n + 1$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，记数列 $\{d_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，

(1)、求 $\{d_{n}\}$ 的通项公式及 $S_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n - 1} S_{n}}$ ， $T_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，求 $T_{n}$ ．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 2 l n x$ ．

(1)、当 $a = 2 \sqrt{2}$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 的单调减区间；

(2)、若 $y = f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ， $a \geq \frac{5}{2}$ ，若不等式 $f (x_{1}) \geq m x_{2}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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19. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左、右两个顶点分别为 $A$ ， $B$ ，直线 $y = \frac{b}{a} x$ 与直线 $x = a$ 的交点为 $D$ ，且 $△ A B D$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设过 $C$ 的右焦点 $F$ 的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = - 2$ ，直线 $l_{1}$ 交 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点， $l_{2}$ 交 $C$ 于 $G$ ， $H$ 两点，线段 $M N$ ， $G H$ 的中点分别为 $R$ ， $S$ ，直线 $R S$ 与 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，记 $△ P Q A$ 与 $△ P Q B$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，证明： $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 为定值．

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$α$	$0.1$	$0.05$	$0.01$
$χ_{a}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$