湖北省十堰市2023-2024学年高二下学期6月期末调研考试数学试卷

试卷更新日期：2024-07-01 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 某运动物体的位移 $s$ （单位：米）关于时间 $t$ （单位：秒）的函数关系式为 $s = 4 t^{2} + t$ ，则该物体在 $t = 1$ 秒时的瞬时速度为（）

A、9米/秒 B、8米/秒 C、7米/秒 D、6米/秒

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2. 已知一系列样本点 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3 ⋯)$ 的一个经验回归方程为 $\hat{y} = 9 x + \hat{a}$ ，若 $\bar{x} = 10, \bar{y} = 22$ ，则 $\hat{a} =$ （）

A、67 B、68 C、 $- 67$ D、 $- 68$

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3. 已知某商品生产成本 $C$ 与产量 $q$ 的函数关系式为 $C = 10 + 100 q$ ，单价 $p$ 与产量 $q$ 的函数关系式为 $p = 2800 - \frac{1}{9} q^{2}$ ，则利润最大时， $q =$ （）

A、80 B、90 C、100 D、110

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4. 3000的不同正因数的个数为（）

A、36 B、45 C、32 D、54

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5. 已知直线 $y = - 2 x + a$ 与函数 $f (x) = x^{2} - 4 l n x$ 的图象有两个不同的交点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(3, + \infty)$ B、 $[3, + \infty)$ C、 $(\frac{1}{2}, 3)$ D、 $(2, 3)$

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6. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，若已知该家庭有女孩，则三个小孩中恰好有两个女孩的概率为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{4}$

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7. 已知样本数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为 $a$ ，第75百分位数为 $b$ ，从样本数据落在区间 $[0, a], (a, b), [b, 9]$ 内的数据中各取一个数组成一个三位数，则所组成的三位数中能被3整除的个数为（）

A、54 B、60 C、64 D、72

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8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题．用 $m | x$ 表示整数 $x$ 被 $m$ 整除，设 $a, b \in Z, m \in N^{*}$ 且 $m > 1$ ，若 $m | (a - b)$ ，则称 $a$ 与 $b$ 对模 $m$ 同余，记为 $a \equiv b (m o d m)$ ．已知 $a = C_{16}^{9} \times 5^{16} - C_{16}^{16} \times 5^{15} + C_{16}^{2} \times 5^{14} - C_{16}^{3} \times 5^{13} + ⋯ + C_{16}^{41} \times 5^{2} - C_{16}^{15} \times 5 - 2$ ，则（）

A、 $a \equiv 2024 (m o d 7)$ B、 $a \equiv 2025 (m o d 7)$ C、 $a \equiv 2026 (m o d 7)$ D、 $a \equiv 2027 (m o d 7)$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 为普及航天知识，弘扬航天精神，某学校举办了一次航天知识竞赛．统计结果显示，学生成绩（满分100分） $X \sim N (70, σ^{2})$ ，其中不低于60分为及格，不低于80分为优秀，且优秀率为 $20 %$ ．若从全校参与竞赛的学生中随机选取5人，记选取的5人中优秀的学生人数为 $Y$ ，则（）

A、估计知识竞赛的及格率为 $80 %$ B、 $P (Y = 2) = \frac{1}{25}$ C、 $E (Y) = 1$ D、 $D (Y) = \frac{4}{5}$

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10. 已知 $(3 x - 1)^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{n} x^{n}$ ，且第5项与第6项的二项式系数相等，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{n} = 513$ C、 $a_{5} > a_{7}$ D、 $a_{1} + \frac{a_{2}}{3} + \frac{a_{3}}{3^{2}} + ⋯ + \frac{a_{n}}{3^{n - 1}} = 3$

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11. 已知函数 $f (x) = a x e^{a x}, g (x) = (x + 1) l n x - a x$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 有极小值，则 $a \in (- \infty, 0)$ B、若 $g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则 $a \in (- \infty, 2]$ C、对任意的 $a \in R, g (x)$ 存在唯一零点 D、若 $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，则 $a \in [\frac{1}{e}, + \infty)$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 随机变量 $X \sim B (12, \frac{1}{4})$ ，则 $σ (2 X - 3) =$ ．

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13. 已知一系列样本点 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, ⋯, 9)$ 满足 $\bar{y} = 5$ ， $\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} = 265$ ，由最小二乘法得到 $y$ 与 $x (1, 2, 3, ⋯, 9)$ 的回归方程，现用决定系数 $R^{2}$ 来判断拟合效果（ $R^{2}$ 越接近1，拟合效果越好），若 $\sum_{i = 1}^{9} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2} = 1.60$ ，则 $R^{2} =$ ．（参考公式：决定系数 $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ ）

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14. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 l n (x - 1) - a x$ ，若对任意的 $x \in (1, + \infty), f (x) \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生需参与预选初检、体检鉴定、飞行职业心理学检测、背景调查、高考选拔共5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取．据统计，某校高三在校学生有1000人，其中男生600人，女生400人，各有100名学生有民航招飞意向．
附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.050
0.010
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

(1)、完成以下 $2 \times 2$ 列联表，并根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别有关？

对民航招飞有意向

对民航招飞没有意向
合计
男生
女生
合计

(2)、若每名报名学生通过前4项流程的概率依次约为 $\frac{3}{4}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}$ ， 1，假设学生能否通过这4项流程相互独立，估计该校高三学生被认为有效招飞的人数．

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16. 某地五一假期举办大型促销活动，汇聚了各大品牌新产品的展销．现随机抽取7个品牌产品，得到其促销活动经费 $x$ （单位：万元）与销售额 $y$ （单位：万元）的数据如下：
品牌代号
1
2
3
4
5
6
7
促销活动经费 $x$
1
2
4
6
10
13
20
销售额 $y$
12
20
44
40
56
60
82
若将销售额 $y$ 与促销活动经费 $x$ 的比值称为促销效率值 $μ$ ，当 $μ \geq 10$ 时，称为“有效促销”，当 $μ \leq 5$ 时，称为“过度促销”．

(1)、从这7个品牌中随机抽取4个品牌，求取出的4个品牌中“有效促销”的个数比“过度促销”的个数多的概率；

(2)、从这7个品牌中随机抽取3个，记这3个品牌中“有效促销”的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望．

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17. 设曲线 $f (x) = e^{2 x}$ 在点 $P (m, f (m))$ 处的切线 $l$ 与坐标轴所围成的三角形面积为 $S (m)$ ．

(1)、当切线 $l$ 与直线 $2 x - y + 1 = 0$ 平行时，求实数 $m$ 的值；

(2)、当 $m < 0$ 时，求 $S (m)$ 的最大值．

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18. 为加深学生对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得成就的了解，某学校高二年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛）．

(1)、已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为 $\frac{2}{3}$ ，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进人初赛的概率；

(2)、已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为 $\frac{4}{5}$ ，对手答对每道试题的概率为 $\frac{3}{4}$ ，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分 $Y$ 的分布列与期望；

(3)、进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为 $(p \in (0, 1))$ ，若甲4道试题全对的概率为 $\frac{1}{16}$ ，求甲能胜出的概率的最小值．

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19. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{1}{2} x^{2} - a x$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的最大值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若存在 $x_{1}, x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 1 - 2 a$ ，证明： $x_{1} + x_{2} > 2$ ．

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	对民航招飞有意向	对民航招飞没有意向	合计
男生
女生
合计

品牌代号	1	2	3	4	5	6	7
促销活动经费 $x$	1	2	4	6	10	13	20
销售额 $y$	12	20	44	40	56	60	82

$α$	0.050	0.010	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828