浙教版数学八年级暑假知识训练：一元二次方程的实际应用

试卷更新日期：2024-06-30 类型：复习试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 12月18日23时59分，甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震．面对突发灾情，某公司积极募捐资金，支持当地开展灾害救援救助及灾后重建工作．第1天募捐到资金 $2.5$ 万元，第2天、第3天募捐资金连续增长，第3天募捐到的资金为 $3.2$ 万元．设该公司这两天募捐资金平均每天的增长率为x ，则所列方程正确的是（　　）

A、 $2.5 (1 + x)^{2} = 3.2$ B、 $2.5 + 2.5 (1 + x)^{2}$ =3.2 C、 $3.2 (1 + x)^{2} = 2.5$ D、 $2.5 (1 + 2 x) = 3.2$

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2. 如图，在一块长为 $20 m$ ，宽为 $12 m$ 的矩形 $A B C D$ 空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路.四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为 $40 m^{2}$ .设道路宽为 $x m$ ，则以下方程正确的是（）

A、 $32 x + 4 x^{2} = 40$ B、 $32 x + 8 x^{2} = 40$ C、 $64 x - 4 x^{2} = 40$ D、 $64 x - 8 x^{2} = 40$

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3. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题，简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的对角线长．若设门的对角线长为 $x$ 尺，则可列方程为(　　)

A、 $(x + 2)^{2} = (x - 4)^{2} + x^{2}$ B、 $(x + 4)^{2} = x^{2} + (x - 2)^{2}$ C、 $x^{2} = (x - 4)^{2} + (x - 2)^{2}$ D、 $(x + 4)^{2} = (x + 2)^{2} + x^{2}$

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4. 某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆．如果设从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（　　）

A、20（1+2x）＝31.2 B、20（1+2x）﹣20＝31.2 C、20（1+x）²＝31.2 D、20（1+x）²﹣20＝31.2

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5. 某公司今年1月的营业额为2500万元，按计划第一季度的总营业额要达到9100万元，求该公司2月和3月两个月的月平均增长率．设该公司2月和3月两个月营业额的月平均增长率为x ，则可列方程（）

A、 $2500 {(1 + x)}^{2} = 9100$ B、 $2500 (1 + x) (1 + 2 x) = 9100$ C、 $2500 + 2500 (1 + x) + 2500 (1 + 2 x) = 9100$ D、 $2500 + 2500 (1 + x) + 2500 {(1 + x)}^{2} = 9100$

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6. 某医疗物资制造厂原来每件产品的生产成本是100元，为提高生产效率改进了生产技术，连续两次降低成本后，成本是81元，则平均每次降低成本的百分率为（）

A、8.5% B、9% C、9.5% D、10%

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7. 某商店销售连衣裙，每条盈利 $40$ 元，每天可以销售 $20$ 条.商店决定降价销售，经调查，每降价 $1$ 元，商店每天可多销售 $2$ 条连衣裙.若想要商店每天盈利 $1200$ 元，每条连衣裙应降价（）

A、 $5$ 元 B、 $10$ 元 C、 $20$ 元 D、 $10$ 元或 $20$ 元

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8. 已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的两个根，则此直角三角形的斜边长是（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{5}$ C、13 D、5

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9. 2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，参加比赛的队伍数是（）

A、8 B、10 C、7 D、9

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10. 一个长方形纸片内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图1放置，长方形纸片没有被两个小正方形纸片覆盖的部分(阴影部分)的面积为8cm²；按照图2 放置，长方形纸片没有被两个小正方形纸片覆盖的部分的面积为11 cm².当把两个小正方形纸片按照图3放置时，长方形纸片没有被两个小正方形纸片覆盖的部分的面积为（）

A、5cm² B、6cm² C、7cm² D、8cm²

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二、填空题（每题4分，共24分

11. 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9.如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是

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12. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为.

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13. 某可降解吸管生产企业今年2月(28天)可降解吸管平均日产量为100万支。为满足市场需求，该公司改进生产技术，使得可降解吸管产量在2月的基础上逐月提高，已知今年4月的可降解吸管总产量为3388万支.若3月和4月的可降解吸管月产量增长率相同，则每月的增长率为.

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14. 古巴比伦挖掘出的泥版中，记载着一元二次方程正数解的几何解法．以 $x (x + 10) = 375$ 为例说明，如图1，构造一个边长为x的正方形，加上一个长为x宽为10的长方形；再将右边的长方形剪成2个宽为5的长方形，拼成边长为 $x + 5$ 的大正方形，如图2所示，则大正方形的面积为 $375 + 25 = 400$ ，即可求得 $x = 15$ ．小明用此几何法解关于x的方程 $x (x + p) = q$ ，若假设图1中正方形的面积为81，图2中大正方形的面积为144，则 $p =$ ， $q =$ ．

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15. 有学者认为，阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》关于一元二次方程的几何求解法与中国古代数学的“出入相补原理”相近，可能受到中国传统数学思想的影响，花拉子米关于 $x^{2} + 10 x = 39$ 的几何求解方法如图1，在边长为x的正方形的四个边上向外做边长为x和 $\frac{5}{2}$ 的矩形，再把它补充成一个边长为 $x + 5$ 的大正方形，我们得到大正方形的面积为 ${(x + 5)}^{2} = x^{2} + 10 x + 25 = 39 + 25 = 64$ （因为 $x^{2} + 10 x = 39$ ）．所以大正方形边长为 $x + 5 = 8$ ，得到 $x = 3$ ．思考：当我们用这种方法寻找 $x^{2} + 6 x = 7$ 的解时，如图2中间小正方形的边长x为；阴影部分每个正方形的边长为．

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三、解答题（共8题，共66分）

16. 举世瞩目的青藏铁路现已通车，实现了几代中国人梦寐以求的愿望，它是世界上海拔最高，线路最长的高原铁路青藏铁路线上，在西宁、格尔木到拉萨(如图)之间有一段很长的冻土地段，列车在冻土地段的行驶速度是100千米/小时，在非冻土地段的行驶速度是120千米/小时

(1)、列车在冻土地段行驶3小时的路程为千米，行驶a小时的路程为千米(用含a的代数式表示) ；

(2)、在西宁到拉萨路段，列车通过非冻土地段所需时间是通过冻土地段所需时间的2.1倍，如果通过冻土地段需要a小时，西宁到拉萨路这段铁路的长为多少千米？

(3)、在格尔木到拉萨路段，列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用0.5小时，如果通过冻土地段需要b小时，在(2)的条件下，若取a=5，b =4，求西宁到格尔木这段铁路长为多少千米？

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17. 近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．

(1)、请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？

(2)、如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？

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18. 新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具.某品牌新能源汽车经销商对新上市的 $A$ 汽车在1月份至3月份的销售情况进行统计，发现 $A$ 汽车1月份的销量为20辆，3月份的销量为45辆.

(1)、求 $A$ 汽车销量的月平均增长率.

(2)、为了扩大 $A$ 汽车的市场占有量，提升 $A$ 汽车的销售业绩，该公司决定采取适当的降价措施(降价幅度不超过售价的10%)，经调查发现，当 $A$ 汽车的销售单价定为12万元时，平均每月的售量为30辆，在此基础上，若 $A$ 汽车的销售单价每降1万元，平均每月可多售出10辆.若销售额要达到440万元，则每辆 $A$ 汽车需降价多少万元?

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19. 某工程队采用A、B两种设备同时对长度为4800米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则32小时恰好完成改造任务．

(1)、求A型设备每小时铺设的路面长度；

(2)、通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了 $(m + 25)$ 小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了 $3 m$ 米，而使用时间增加了 $m$ 小时，求 $m$ 的值．

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20. 如图是2024年1月的日历，1月1日下方标有“元旦”二字。“元旦"意为“初始之日”。中国历史上的“元旦”指的是农历“正月初一”，1949年中华人民共和国以公历1月1日为元旦.在如图的日历中，用“日”形框框住任意6个数，若其中最小数与最大数的乘积为100，求这个最小数.

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21. 饲养场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面（粗线A﹣B﹣C表示墙面）建饲养场，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝15米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场BDEF，并在每个区域开一个宽2米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆GH隔开），点F在线段BC上．

(1)、设EF的长为x米，则DE＝米；（用含x的代数式表示）

(2)、若围成的饲养场BDEF的面积为132平方米，求饲养场的宽EF的长；

(3)、所围成的饲养场BDEF的面积能否为171平方米？如果能达到，求出EF的长；如果不能，请说明理由．

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22. 如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ C B$ ， $∠ C = 90 ° ， B C = 16 ， D C = 12 ， A D = 21$ ，动点P从点D出发，沿射线 $D A$ 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段 $C B$ 上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P ， Q分别从点D ， C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．

(1)、设 $△ B P Q$ 的面积为S ，求S与t之间的函数关系式；

(2)、当t为何值时，四边形 $A B Q P$ 是平行四边形；

(3)、当t为何值时，以B ， P ， Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?

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23. 根据以下素材，探索完成任务．

如何改造硬纸板制作无盖纸盒？
背景	学校手工社团小组想把一张长50cm，宽40cm的矩形硬纸板，制作成一个高 $5 c m$ ，容积 $4680 c m^{3}$ 的无盖长方体纸盒，且纸盒的长不小于 $32 c m$ （纸板的厚度忽略不计）．
方案	初始方案：将矩形硬纸板竖着裁剪 $x c m$ （阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形．
	改进方案：将矩形硬纸板竖着裁剪 $x c m$ ，横着裁剪 $y c m$ （阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形．
问题解决
任务1	判断方案	请通过计算判断初始方案是否可行？
任务2	改进方案	改进方案中，当 $x = y$ 时，求x的值．
任务3	探究方案	当裁剪后能制作成符合要求的纸盒时，写出y关于x的函数关系式．

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