浙教版数学八年级暑假知识训练：菱形的性质与判定

试卷更新日期：2024-06-30 类型：复习试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 矩形具有而菱形不一定有的性质是（）

A、对角线相等 B、对角线互相垂直 C、对角线互相平分 D、对角相等

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2. 已知四边形ABCD是菱形，则下列结论中，不一定正确的是（）

A、∠A=∠B=∠C=∠D B、AB=BC=CD=DA C、AC⊥BD D、AC平分∠BAD和∠BCD

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3. 下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）

A、两条对角线相等 B、两条对角线互相垂直 C、两条对角线互相垂直平分 D、两条对角线相等且互相垂直

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4. 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连结BD，AD，下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（）

A、∠ABC=∠ACB B、AB=AD C、∠BAC=∠DAC D、AC⊥BD

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5. 用直尺和圆规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中，错误的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，菱形ABCD的对角线AC ， BD相交于点O ，过点B作BE⊥AD于点E ，连接OE ，若菱形ABCD的面积为16，OA＝4，则OE的长为（）

A、3 B、2.5 C、 $\sqrt{5}$ D、2

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7. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为CD的中点.若OE=3，则菱形ABCD的周长为（）

A、6 B、12 C、24 D、48

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8. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且DE⊥AB，AC=6，则菱形ABCD的面积是（）

A、18 B、18 $\sqrt{3}$ C、9 $\sqrt{3}$ D、6 $\sqrt{3}$

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9. 如图，□ABCD的对角线相交于点O，M，N分别是边AD，BC 的中点，连结AN，CM.有下列两个结论：①若四边形 ANCM 是菱形，则AB⊥AC；②若四边形 ANCM 是矩形，则AB=AC.那么（）

A、①正确，②错误 B、①错误，②正确 C、①②都正确 D、①②都错误

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10. 在数学课拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长是1，且一个内角是60°的小菱形拼成的图形，P是其中4个小菱形的公共顶点，小新在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（）

A、2 $\sqrt{3}$ B、3 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{7}}{2}$ D、 $\sqrt{13}$

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 如图，在菱形ABCD中，AB=10cm，AC=16cm，E，F分别是CD和BC的中点，连结EP并延长与AB的延长线相交于点G，则EG的长度为cm

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12. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上， EF⊥AB，OG∥EF，AD=10，EF=4，则BG的长为.

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13. 已知菱形ABCD的面积为20cm²，对角线AC的长为8cm，则对角线BD的长为cm.

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14. 如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是三边的中点．图中有个正三角形，有个菱形．

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15. 如图，有两张矩形纸片 ABCD和EFGH，AB=EF=2cm，BC=FG=8cm.将两纸片按如图所示的方式叠放，使点D 与点G 重合，且重叠部分为▱MNDK.若两张纸片交叉所成的角记为α，则当a=30°时，BM=cm；当α最小时，重叠部分的面积为cm².

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16. 小明同学学习了菱形的知识后，结合之前学习的赵爽弦图，编了一个菱形版“赵爽弦图” $.$ 如图，菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ，四边形 $E F G H$ 是矩形，若 $F A = F B = 2 \sqrt{2}$ ，则矩形 $E F G H$ 的面积为．

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三、作图题（共8分）

17. 如图，16个形状大小完全相同的菱形组成网格 $A B C D$ ，菱形的顶点称为格点．

(1)、在图1中画出矩形 $E F M N$ ，使得 $E$ ， $F$ ， $M$ ， $N$ 分别落在 $A D$ ， $C D$ ， $B C$ ， $A B$ 边 $($ 包含端点 $)$ 的格点上 $($ 画出其中一个即可 $)$ ．

(2)、如图2，已知点 $P$ ， $E$ ， $F$ ， $M$ ， $N$ 均在格点上，请在网格中 $($ 包含边界 $)$ 找一格点 $Q$ ，连结 $P Q$ ，使得直线 $P Q$ 平分平行四边形 $E F M N$ 的面积．

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四、解答题（共7题，共58分）

18. 小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，OB=OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠：

证明：∵AC⊥BD，OB=OD，
∴AC垂直平分BD，
∴AB=AD，CB=CD，
∴四边形ABCD是菱形．
小洁：
这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．

若赞同小惠的证法，请在第一个方框“”内打“√" ；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．

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19. 如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，FC与对角线BD相交于点C，过点G作GE⊥BC于点E，∠ADB=∠FCB．求证：

(1)、AB=2BE；

(2)、DG=CF+GE．

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20. 如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB相交于点F．

(1)、求证：EO=DC；

(2)、若菱形ABCD的边长为10，∠EBA=60°，求菱形ABCD的面积．

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21. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE=EF=FD，∠BAF=∠DCE=90°.

(1)、求证：△ABF≌△CDE.

(2)、连结AE，CF，已知 ▲ (从条件①：∠ABD=30°.条件②：AB=BC中选择一个作为已知，填序号)，请判断四边形AECF的形状，并说明理由.

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22. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=7，∠ACB=45°，AC＞AB ， E ， F为对角线AC上的两点(点E与A、C、F都不重合)，AE=CF ， EM⊥BC于点M ， FN⊥AD于点N ，连结EN ， FM ．

(1)、求证：四边形EMFN是平行四边形．

(2)、四边形EMFN能否成为矩形？四边形EMFN能否成为菱形？请直接写出答案．

(3)、连结MN ，作点C关于MN的对称点C^' ，若点C^'落在边AB上，求AE的长.

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23. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = a$ ， $B C = b$ ， $∠ B A D = 120 °$ ．

(1)、若 $a = b = 2$ ，则 $B D =$ ；

(2)、如图 $1$ ，当 $a = 2$ 时，求对角线 $B D$ 的长（用含 $b$ 的式子表示）；

(3)、如图 $2$ ，四边形 $B C E F$ ，四边形 $A F E D$ 都是平行四边形，延长 $A F$ 交 $B E$ 于点 $G$ ，若 $A G ⊥ B E$ ， $A B = 3$ ， $B C = 2$ ， $A F = 1$ ，求 $B E$ 的长．

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24. 【问题情境】
在“综合与实践”活动课上，老师给出了如图1所示的一张矩形纸片ABCD，其中 $A B = 8, B C = 6$ .如图2，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到纸片 $△ A B C$ 与 $△ A^{^{'}} D C^{^{'}}$ .

(1)、【实践探究】
将 $△ A^{^{'}} D C^{^{'}}$ 纸片沿AC方向平移，连结 $B D (B D$ 与AC相交于点 $O), A D, B C^{^{'}}$ ，得到图3所示的图形.若 $B D ⊥ A C$ ，解答下列问题：
①求证： $A B = B C^{^{'}}$ .
②求出平移的距离 $A A^{^{'}}$ .

(2)、【拓展延伸】
如图4，先将 $△ A^{^{'}} D C^{^{'}}$ 纸片沿AC方向平移一定距离，然后将 $△ A^{^{'}} D C^{^{'}}$ 纸片绕点 $A^{^{'}}$ 顺时针旋转，使 $A^{^{'}} C^{^{'}} / / A B$ ，若此时 $C^{^{'}} D$ 恰好经过点 $C$ ，求出平移的距离 $A A^{^{'}}$ .

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