浙教版数学八年级暑假知识训练：韦达定理

试卷更新日期：2024-06-30 类型：复习试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 若一元二次方程x²-4x-3=0的两个根分别是 m，n，则下列说法中，正确的是（）

A、m+n=-4， mn=3 B、m+n= -4， mn=-3 C、m+n=4， mn=3 D、m+n=4， mn=-3

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2. 若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2} + x - 3 = 0$ 的两个实数根，则 $2024 - x_{1} - x_{2}$ 的值为（）

A、2025 B、2023 C、 $2024 \frac{1}{2}$ D、 $2023 \frac{1}{2}$

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3. 若关于x的方程 $4 x^{2} - 5 x - (m ＋ 5) = 0$ 的解中，仅有一个正数解，则m的取值范围是（）

A、 $m > - 5$ B、 $m \geq - 5$ C、 $m > - \frac{105}{16}$ D、 $m \geq - \frac{105}{16}$

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4. 小明发现一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两根表示在数轴上关于点 $x = - \frac{b}{2 a}$ 对称．若关于x的方程 $m x^{2} + 2 m x = n (m \neq 0)$ 的两根在数轴上对应的点的距离为4，则（）

A、 $m = 3 n$ B、 $n = 3 m$ C、 $m = - 3 n$ D、 $n = - 3 m$

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5. 已知一元二次方程 $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0$ （a≠0，x₁≠x₂）与一元一次方程 $d x + e = 0$ 有一个公共解x=x₁ ，若一元二次方程 $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) + (d x + e) = 0$ 有两个相等的实数根，则（）

A、 $a (x_{1} - x_{2}) = d$ B、 $a (x_{2} - x_{1}) = d$ C、 $a {(x_{1} - x_{2})}^{2} = d$ D、 $a {(x_{2} - x_{1})}^{2} = d$

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6. 方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两根分别是 $- 2$ 和 $\frac{1}{3}$ ，则方程 $\frac{1}{3} a (x - 2)^{2} + b x = 2 b - 3 c$ 的两根为（）

A、0， $\frac{7}{3}$ B、 $- 6$ ， 1 C、 $- \frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{9}$ D、 $- 4$ ， 3

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7. 若方程ax²+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别是﹣ $\frac{3}{2}$ ， 5，则方程 $\frac{1}{2}$ a（x﹣1）²+bx＝b﹣2c的两根为（）

A、﹣ $\frac{1}{2}$ ， 6 B、﹣3，10 C、﹣2，11 D、﹣5，21

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8. 已知两个关于x的一元二次方程 $M : a x^{2} + b x + c = 0 ， N : c x^{2} + b x + a = 0$ ，其中 $a c \neq 0 ， a \neq c$ ．下列结论错误的是（）

A、若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根 B、若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根 C、若5是方程M的一个根，则 $\frac{1}{5}$ 是方程N的一个根 D、若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是 $x = 1$

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9. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，下列说法：
①若 $a + b + c = 0$ ，则 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ ；
②若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有两个不相等的实根；
③若c是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $a c + b + 1 = 0$ 成立；
④若 $x_{0}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $b^{2} - 4 a c = {(2 a x_{0} + b)}^{2}$ .
其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 一元二次方程 $M ： a x^{2} + b x + c = 0 ； N ： c x^{2} + b x + a = 0$ ，其中 $a c \neq 0 ， a \neq c$ ，给出以下四个结论：(1)若方程 $M$ 有两个不相等的实数根，则方程 $N$ 也有两个不相等的实数根；(2)若方程 $M$ 的两根符号相同，则方程 $N$ 的两根符号也相同；(3)若 $m$ 是方程 $M$ 的一个根，则 $\frac{1}{m}$ 是方程 $N$ 的一个根；(4)若方程 $M$ 和方程 $N$ 有一个相同的根，则这个根必是 $x = 1$ .其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. 若方程 $x^{2} - 3 x + c = 0$ （ $c$ 为常数）的一个解是 $x_{1} = 1$ ，则另一个解 $x_{2} =$ .

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12. 设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $2 x^{2} + 4 x - 3 = 0$ 的两个根，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} =$ ．

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13. 已知一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的两根分别为m、n，则 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值为.

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14. 如果关于x的一元二次方程2x²+5x+m=0的两实数根互为倒数，则m的值为.

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15. 写一个一元二次方程，它的二次项系数为1，两个根分别为 $- 2$ ， $3$ ；．

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16. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(x - 2) (x - 3) = m$ 有实数根 $α$ 和 $β$ ，且 $α \neq β$ ，有下列结论：① $α = 2, β = 3$ ， ② $m > - \frac{1}{4}$ ， ③方程 $(x - α) (x - β) + m = 0$ 的解为 $x_{1} = 2, x_{2} = 3$ ．其中正确结论是．

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三、解答题（共4题，共35分）

17. 若 $x_{1} ， x_{2}$ 是一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的两个根，求下列代数式的值.

(1)、 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ .

(2)、 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ .

(3)、 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}}$ .

(4)、 ${(x_{1} - x_{2})}^{2}$ .

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18. 已知关于x的一元二次方程x²﹣（2m+1）x+m²+m＝0．

(1)、求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；

(2)、设该方程的两个实数根为x₁ ， x₂ ．
①求代数式； $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 4 x_{1} x_{2}$ 的最大值；
②若方程的一个根是6，x₁和x₂是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．

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19. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 t x + t^{2} - 2 t + 4 = 0$ 有两个不相等的实数根 m，n.

(1)、求t的取值范围.

(2)、当t=3时，解这个方程.

(3)、若m，n是方程的两个实数根，设Q=(m-2)(n-2)，试求Q的最小值.

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20. 设实数 $s, t$ 分别满足 $19 s^{2} + 99 s + 1 = 0$ ， $t^{2} + 99 t + 19 = 0$ 并且 $s t \neq 1$ ，求 $\frac{s t + 4 s + 1}{t}$ 的值.

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四、实践探究题（共3题，共31分）

21. 阅读材料：
材料1：若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个根为 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .
材料2：已知一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为m，n，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值.
解： $∵$ 一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为m，n，
$∴ m + n = 1, m n = - 1$ ，则 $m^{2} n + m n^{2} = m n (m + n) = - 1 \times 1 = - 1$ .
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)、材料理解：一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 5 = 0$ 的两个根为 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ， $x_{1} x_{2} =$ .

(2)、类比应用：已知一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 5 = 0$ 的两根分别为m、n，求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值.

(3)、思维拓展：已知实数s、t满足 $s^{2} - 3 s - 5 = 0, t^{2} - 3 t - 5 = 0$ ，且 $s \neq t$ ，求 $\frac{1}{s} - \frac{1}{t}$ 的值.

(4)、思维拔高：若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x - m^{2} - m = 0$ .当 $m = 1, 2, 3, ⋯, 2024$ 时，相应的一元二次方程的两个根分别记为 $α_{1} 、 β_{1}, α_{2} 、 β_{2}, ⋯, α_{2024} 、 β_{2024}$ ，求 $\frac{1}{α_{1}} + \frac{1}{β_{1}} + \frac{1}{α_{2}} + \frac{1}{β_{2}} + ⋯ + \frac{1}{α_{2024}} + \frac{1}{β_{2024}} =$ .(直接写出答案)

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22. 定义，若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根为 $x_{1} ， x_{2}$ （ $x_{1} \leq x_{2}$ ），分别以 $x_{1} ， x_{2}$ 为横坐标和纵坐标得到点 $M (x_{1} ， x_{2})$ ，则称点M为该一元二次方程的的衍生点.

(1)、若方程为 $x^{2} - 3 x = 0$ ，写出该方程的的衍生点M的坐标.

(2)、若关于x的一元二次方程 $x^{2} - (5 m + 1) x + 5 m = 1$ 的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值.

(3)、是否存在b，c，使得不论k（ $k \neq 0$ ）为何值，关于x的方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 的衍生点M始终在直线 $y = k x + 2 (k + 3)$ 的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由.

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23. 阅读理解：
【材料一】若三个非零实数x，y，z中有一个数的平方等于另外两个数的积，则称三个实数x，y，z构成“友好数”.

【材料二】若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两根分别为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则有： $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} ， x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ .

问题解决：

(1)、实数4，6，9可以构成“友好数”吗？请说明理由；

(2)、若 $M_{1} (t ， y_{1}) ， M_{2} (t - 1 ， y_{2}) ， M_{3} (t + 1 ， y_{3})$ 三点均在函数 $y = \frac{k}{x}$ （k为常数且 $k \neq 0$ ）的图象上，且这三点的纵坐标 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 构成“友好数”，求实数t的值；

(3)、设三个实数 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ 是“友好数”且满足 $0 < x_{1} < x_{3} < x_{2}$ ，其中 $x_{1} ， x_{2}$ 是关于x的一元二次方程 $n x^{2} + m x + n = 0 (n \neq 0)$ 的两个根， $x_{3}$ 是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴的一个交点的横坐标.
① $a + b + c$ 的值等于；

②设 $x = \frac{b}{a} ， y = \frac{b^{2} + a c}{a^{2}}$ ，求y关于x的函数关系式.

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