浙教版数学八年级暑假知识训练：一元二次方程的解法

试卷更新日期：2024-06-30 类型：复习试卷

进入出卷网下载

一、选择题（每题3分，共30分）

1. 关于x的方程 $x^{2} - 2 m x + m^{2} - 4 = 0$ 的两个根 $x_{1} ， x_{2}$ 满足 $x_{1} = 2 x_{2} + 3$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ，则m的值为（　　）

A、 $- 3$ B、1 C、3 D、9

查看试题解析
2. 已知关于x的方程 $a {(x + m)}^{2} + b = 0$ （a ， b ， m均为常数，且 $a \neq 0$ ）的两个解是 $x_{1} = 3, x_{2} = 6$ ，则方程 $9 a {(x + \frac{1}{3} m)}^{2} + b = 0$ 的解是（）

A、 $x_{1} = 3, x_{2} = 6$ B、 $x_{1} = 3, x_{2} = 2$ C、 $x_{1} = 9, x_{2} = 18$ D、 $x_{1} = 1, x_{2} = 2$

查看试题解析
3. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ 时，此方程可变形为（）

A、 ${(x + 2)}^{2} = 3$ B、 ${(x + 2)}^{2} = 1$ C、 ${(x + 4)}^{2} = 3$ D、 ${(x + 4)}^{2} = 1$

查看试题解析
4. 已知方程 $x^{2} - 6 x + q = 0$ 可以配方成 $（ x - p ）^{2} = 7$ 的形式，那么 $x^{2} - 6 x + q = 2$ 可以配方成下列的（）

A、 $（ x - p ）^{2} = 5$ B、 $（ x - p ）^{2} = 9$ C、 $（ x - p + 2 ）^{2} = 9$ D、 $（ x - p + 2 ）^{2} = 5$

查看试题解析
5. 已知关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，当 $b^{2} - 4 a c = 0$ 时，方程的解为（）

A、 $x_{1} = \frac{b}{2 a}$ ， $x_{2} = - \frac{b}{2 a}$ B、 $x_{1} = \frac{b}{a}$ ， $x_{2} = - \frac{b}{a}$ C、 $x_{1} = x_{2} = \frac{b}{2 a}$ D、 $x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a}$

查看试题解析
6. $x = \frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \times 3 \times (- 1)}}{2 \times 3}$ 是下列哪个一元二次方程的根（）

A、 $3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$ B、 $2 x^{2} + 4 x - 1 = 0$ C、 $- x^{2} - 2 x + 3 = 0$ D、 $3 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

查看试题解析
7. 我们知道方程 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ 的解是 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 3$ ，现给出另一个方程 ${(x + 3)}^{2} + 2 (x + 3) - 3 = 0$ ，它的解是（）

A、 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = - 6$ B、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 3$ C、 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 3$ D、 $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = - 6$

查看试题解析
8. 小李解方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的步骤如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A、小李解方程的过程正确 B、 $x = 2$ 也是该方程的一个解 C、小李解方程的方法是配方法 D、解方程的过程是从第② 步到第③ 步时出现错误

查看试题解析
9. 定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[﹣1.4]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3．函数y＝[x]的图象如图所示，则方程[x]＝ $\frac{1}{2}$ x²的解为（）

A、0或 $\sqrt{2}$ B、0或2 C、1或﹣ $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$ 或﹣ $\sqrt{2}$

查看试题解析
10. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，下列说法：
$①$ 若 $a + b + c = 0$ ，则方程必有一根为 $x = 1$ ；
$②$ 若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 无实根；
$③$ 若方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 且满足 $x_{1} \neq x_{2} \neq 0$ ，则方程 $c x^{2} + b x + a = 0 (c \neq 0)$ ，必有实根 $\frac{1}{x_{1}}$ ， $\frac{1}{x_{2}}$ ；
$④$ 若 $x_{0}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $b^{2} - 4 a c = (2 a x_{0} + b)^{2}$ ．
其中正确的（）

A、 $① ②$ B、 $① ④$ C、 $② ③ ④$ D、 $① ③ ④$

查看试题解析

二、填空题（每题4分，共24分）

11. 若用配方法解方程 $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ 时，将其配方为 ${(x + b)}^{2} = c$ 的形式，则 $c =$ ．

查看试题解析
12. 对于两个互不相等的有理数a ， b我们规定符号 $m a x {a, b}$ 表示a ， b两个数中最大的数．按照这个规定则方程 $m a x {x, 0} = x^{2} - 2$ 的解为．

查看试题解析
13. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $m (x - h)^{2} - k = 0$ （ $m, h, k$ 均为常数，且 $m \neq 0$ ）的解是 $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 5$ ，则关于 $x$ 的一元二次方程 $m (x - h + 3)^{2} = k$ 的解是．

查看试题解析
14. 若方程（x²﹣1）（x²﹣4）＝k有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则k＝．

查看试题解析
15. 对于实数a，b，定义新运算“◎”：a◎b=（a+b）²-（a-b）².若(m+2)◎(m-3)=24，则m=

查看试题解析
16. 定义：若 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个整数根，且满足 $| x_{1} - x_{2} | = 1$ ，则称此类方程为“自然方程”，例如： $(x - 2) (x - 3) = 0$ 是“自然方程”．
⑴下列方程是“自然方程”的是；（填序号）
① $x^{2} + x = 1$ ；② $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ ；③ $x^{2} - \frac{1}{4} = 0$ ．
⑵若方程 $x^{2} - (m + 1) x + m = 0$ 是“自然方程”，m的值为．

查看试题解析

三、计算题

17. 解方程：

(1)、 $(x + 2)^{2} - 3 (x + 2) = 0$

(2)、 $x^{2} - 3 x - 1 = 0$

查看试题解析
18. 解方程：

(1)、2x﹣6＝(x﹣3)²

(2)、x²﹣4x﹣7＝0

查看试题解析
19. 选择适当的方法解下列方程：

(1)、 $(x - 5) (x + 2) = 8$ ．

(2)、 $(x - 1)^{2} - 2 (x^{2} - 1) = 0$ ．

(3)、 $(x + 3)^{2} = - 2 (x + 3)$ ．

查看试题解析

四、解答题（共6分）

20.

(1)、关于

x

的方程

x （ x - 1 ） = 3 （ x - 1 ）

，下列解法完全正确的是．

甲	乙
两边同时除以 $（ x - 1 ）$ 得到 $x = 3$ ．	移项得 $x (x - 1) + 3 (x - 1) = 0$ ， $∴ (x - 1) (x + 3) = 0$ ， $∴ x - 1 = 0 或 x + 3 = 0$ ， $∴ x_{1} = 1 ， x_{2} = - 3$ ．
丙	丁
整理得 $x^{2} - 4 x = - 3$ ， $∵ a = 1 ， b = - 4 ， c = - 3$ ， $∴ Δ = b^{2} - 4 a c = 28$ ， $∴ x = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$ ， $∴ x_{1} = 2 + \sqrt{7} ， x_{2} = 2 - \sqrt{7}$ ．	整理得 $x^{2} - 4 x = - 3$ ，配方得 $x^{2} - 4 x + 4 = 1$ ， $∴ {(x - 2)}^{2} = 1$ ， $∴ x - 2 = \pm 1$ ， $∴ x_{1} = 1 ， x_{2} = 3$ ．

(2)、选择合适的方法解方程

8 x^{2} - 10 x + 3 = 0 ．

查看试题解析

五、实践探究题（共4题，共39分）

21. 定义一种新运算：对于任意非零实数 $m$ 和 $n$ ， $m ※ n = {\begin{array}{l} \frac{n}{m} (m < n) \\ \frac{m}{n} (m \geq n) \end{array}$ ，例如： $3 ※ 2 = \frac{3}{2}$ ， $- 2 ※ 3 = - \frac{3}{2}$ ，请回答下列问题：

(1)、计算 $2 ※ \sqrt{2}$ ；

(2)、解方程： $(x^{2} + 2 x + 2) ※ 1 = 2$

(3)、直接写出不等式 $2 ※ x > 4 ※ x$ 的解．

查看试题解析
22. 阅读下列材料：为解方程 $x^{4} - x^{2} - 6 = 0$ 可将方程变形为 ${(x^{2})}^{2} - x^{2} - 6 = 0$ 然后设 $x^{2} = y$ ，则 ${(x^{2})}^{2} = y^{2}$ ．
例： $x^{4} - x^{2} - 6 = 0$ ，
解：令 $x^{2} = y$ ，原方程化为 $y^{2} - y - 6 = 0$ ，解得 $y_{1} = - 2$ ， $y_{2} = 3$ ，
当 $y_{1} = - 2$ 时， $x^{2} = - 2$ （无意义，舍去）
当 $y_{2} = 3$ 时， $x^{2} = 3$ ，解得 $x = \pm \sqrt{3}$ ，
$∴$ 原方程的解为 $x_{1} = \sqrt{3}$ ， $x_{2} = - \sqrt{3}$ ．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．
利用以上学习到的方法解下列方程：

(1)、 ${(x^{2} - 2 x)}^{2} - 5 (x^{2} - 2 x) - 6 = 0$

(2)、 $3 (x^{2} + 5 x + 1) - 2 \sqrt{x^{2} + 5 x + 1} = 1$

查看试题解析
23. 阅读下列材料：
已知实数x ， y满足 $(x^{2} + y^{2} + 1) (x^{2} + y^{2} - 1) = 63$ ，试求 $x^{2} + y^{2}$ 的值．
解：设 $x^{2} + y^{2} = a$ ，则原方程变为 $(a + 1) (a - 1) = 63$ ，整理得 $a^{2} - 1 = 63$ ， $a^{2} = 64$ ，根据平方根意义可得 $a = \pm 8$ ，由于 $x^{2} + y^{2} ⩾ 0$ ，所以可以求得 $x^{2} + y^{2} = 8$ ．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式､多项式，可以达到化繁为简的目的．
根据阅读材料内容，解决下列问题：

(1)、已知实数x ， y满足 $(2 x + 2 y + 3) (2 x + 2 y - 3) = 27$ ，求 $x + y$ 的值．

(2)、已知a ， b满足方程组 ${\begin{array}{l} 3 a^{2} - 2 a b + 12 b^{2} = 47 \\ 2 a^{2} + a b + 8 b^{2} = 36 \end{array}$ ；求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b}$ 的值；

(3)、填空：
已知关于x ， y的方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解是 ${\begin{array}{l} x = 9 \\ y = 5 \end{array}$ ，则关于x ， y的方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x^{2} - 2 a_{1} x + b_{1} y = c_{1} - a_{1} \\ a_{2} x^{2} - 2 a_{2} x + b_{2} y = c_{2} - a_{2} \end{array}$ 的解是．

查看试题解析
24. 【综合与实践习】
【问题情境】课堂上，老师让同学们复习一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的多种解法，在讨论这些解法之间的关系时，小组同学发言如下：

(1)、【操作判断】小彬：分解因式法可以解特殊结构的一元二次方程，基本思路是通过分解因式将方程变形为（x一m）（x一n）=0的形式，这样就可以将原方程化为两个一元一次方程x-m=0或，进而得到原方程的根为x₁=m，x₂=。

(2)、【实践探究】小文：分解因式法虽好，但是有些方程用这个方法不太方便，比如 $x^{2} - 4 x$ $+ 2 = 0$ ，这个方程利用公式法或者配方法可得： $x_{1} = 2 + \sqrt{2}, x_{2} = 2 - \sqrt{2}$ ，但我们能反过来利用这两个解帮助我们对 $x^{2} - 4 x + 2$ 进行因式分解得到 $(x - 2 - \sqrt{2}) (x - 2 + \sqrt{2})$ ，请你利用这个方法对 $x^{2} + 2 x - 1$ 进行因式分解.

(3)、【问题解决】小枪：从特殊到一般，是否所有的代数式 $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 都能进行因式分解呢？请说明能进行因式分解的代数式 $a x^{2} + b x + c$ 中的a，b，c要满足什么条件，因式分解的结果是什么？

查看试题解析